Упр.523 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять рёбер равны $$a$$, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объём призмы.
Обозначим боковое ребро призмы через $$x$$. Тогда в прямой призме все боковые рёбра равны, значит четыре из девяти рёбер равны $$x$$, а остальные пять равны $$a$$.
Основание призмы — прямоугольный треугольник $$ABC$$. В нём гипотенуза $$AC$$ равна ребру основания, а катеты равны боковым рёбрам основания. По условию пять рёбер равны $$a$$, значит гипотенуза основания и боковые рёбра призмы равны $$a$$, а два катета равны $$x$$.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$:
$$x^2+x^2=a^2,$$
откуда
$$2x^2=a^2,\qquad x^2=\frac{a^2}{2},\qquad x=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$
Площадь основания призмы:
$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}.$$
Высота прямой призмы равна боковому ребру, то есть $$a$$. Поэтому объём призмы:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot a=\frac{a^2}{4}\cdot a=\frac{a^3}{4}.$$
Ответ: $$\frac{a^3}{4}$$.
