Упр.523 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять ребер равны а, a остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Обозначим стороны прямоугольного треугольника основания через $$AB$$ и $$BC$$, а гипотенузу — через $$AC$$. По условию пять рёбер призмы равны $$a$$, а остальные четыре рёбра равны между собой. Значит, в основании прямоугольного треугольника равны катеты:

$$AB=BC=x,$$

а гипотенуза основания и боковые рёбра призмы равны $$a$$.

Так как $$\triangle ABC$$ прямоугольный и равнобедренный, то по теореме Пифагора:

$$ AB^2+BC^2=AC^2 $$

$$ x^2+x^2=a^2 $$

$$ 2x^2=a^2,\qquad x^2=\frac{a^2}{2} $$

Тогда площадь основания призмы равна:

$$ S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4} $$

Высота прямой призмы равна боковому ребру, то есть $$a$$. Поэтому объём призмы:

$$ V=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{a^2}{4}\cdot a=\frac{a^3}{4} $$