Упр.522 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали BD1 и A1C взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, AB = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей параллелограмма $$A_1D_1CB$$. Так как $$BD_1 \perp A_1C$$, то диагонали этого параллелограмма взаимно перпендикулярны. Следовательно, $$A_1D_1CB$$ — ромб, а его диагонали делятся точкой пересечения пополам:

$$BO=OD_1=\frac{BD_1}{2}=3\text{ см}, \qquad A_1O=OC=\frac{A_1C}{2}=4\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1OB$$:

$$A_1B=\sqrt{A_1O^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1B$$ найдем высоту параллелепипеда:

$$AA_1=\sqrt{A_1B^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1AC$$:

$$AC=\sqrt{A_1C^2-AA_1^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

В треугольнике $$ABC$$ по теореме косинусов:

$$ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B $$

Подставим известные значения:

$$ (4\sqrt{3})^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cos\angle B $$

$$ 48=9+25-30\cos\angle B $$

$$ \cos\angle B=-\frac{7}{15}. $$

Тогда

$$ \sin\angle B=\sqrt{1-\cos^2\angle B} =\sqrt{1-\frac{49}{225}} =\frac{\sqrt{176}}{15}. $$

Площадь основания параллелепипеда:

$$ S_{\text{осн}}=AB\cdot BC\cdot \sin\angle B =3\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{176}}{15} =\sqrt{176}=4\sqrt{11}\text{ см}^2. $$

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

$$ V=S_{\text{осн}}\cdot AA_1=4\sqrt{11}\cdot 4=16\sqrt{11}\text{ см}^3. $$

Ответ

$$16\sqrt{11}\text{ см}^3$$