Упр.522 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямом параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ диагонали $$BD_1$$ и $$A_1C$$ взаимно перпендикулярны и равны $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$, $$AB=3\text{ см}$$. Найдите объём параллелепипеда.
Рассмотрим четырёхугольник $$A_1D_1CB.$$ Так как в прямом параллелепипеде $$A_1D_1 \parallel BC,$$ $$D_1C \parallel A_1B,$$ а также $$A_1D_1=BC,$$ $$D_1C=A_1B,$$ то $$A_1D_1CB$$ — параллелограмм. По условию $$BD_1 \perp A_1C,$$ значит его диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $$A_1D_1CB$$ — ромб. Тогда диагонали ромба делятся пополам, поэтому
$$BO=OD_1=\frac{BD_1}{2}=3\text{ см},$$
$$A_1O=OC=\frac{A_1C}{2}=4\text{ см}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1OB.$$ По теореме Пифагора:
$$A_1B=\sqrt{A_1O^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1B.$$ Тогда
$$AA_1=\sqrt{A_1B^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\text{ см}.$$
Найдём диагональ $$AC.$$ В прямоугольном треугольнике $$A_1AC$$ имеем:
$$AC=\sqrt{A_1C^2-AA_1^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольник $$ABC.$$ По теореме косинусов:
$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cos\angle B,$$
откуда
$$\left(4\sqrt{3}\right)^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cos\angle B,$$
$$48=9+25-30\cos\angle B,$$
$$\cos\angle B=-\frac{7}{15}.$$
Тогда
$$\sin\angle B=\sqrt{1-\cos^2\angle B}=\sqrt{1-\frac{49}{225}}=\frac{\sqrt{176}}{15}.$$
Площадь основания параллелепипеда:
$$S_{\text{осн}}=AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=3\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{176}}{15}=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\text{ см}^2.$$
Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot AA_1=4\sqrt{11}\cdot 4=16\sqrt{11}\text{ см}^3.$$
Ответ: $$16\sqrt{11}\text{ см}^3.$$
