Упр.52 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости а.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ лежит в плоскости $$\beta$$. По условию $$AB \parallel \alpha$$ и $$AC \parallel \alpha$$.

Если бы прямая $$BC$$ пересекала плоскость $$\alpha$$, то вместе с прямыми $$AB$$ и $$AC$$, параллельными этой плоскости, треугольник $$ABC$$ не мог бы лежать в одной плоскости $$\beta$$. Значит, плоскость $$\beta$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$, то есть

$$\beta \parallel \alpha.$$

Так как $$BC \subset \beta$$, а $$\beta \parallel \alpha$$, то любая прямая плоскости $$\beta$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Следовательно,

$$BC \parallel \alpha.$$

Что и требовалось доказать.