Упр.52 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Две стороны треугольника параллельны плоскости $$\alpha$$. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости $$\alpha$$.
Пусть плоскость треугольника $$ABC$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$l$$. Тогда, если бы прямая $$AB$$ пересекала $$\alpha$$, то она пересекала бы и прямую $$l$$, лежащую в плоскости $$ABC$$. Но $$AB \parallel \alpha$$, значит, $$AB$$ не пересекает $$\alpha$$, следовательно, не пересекает и $$l$$. Аналогично, из $$AC \parallel \alpha$$ получаем, что $$AC$$ не пересекает $$l$$.
В плоскости $$ABC$$ две пересекающиеся прямые $$AB$$ и $$AC$$ не пересекают прямую $$l$$. Значит, прямая $$l$$ параллельна плоскости $$ABC$$. Тогда любая прямая плоскости $$ABC$$, не пересекающая $$l$$, параллельна $$\alpha$$. В частности, $$BC \parallel \alpha$$.
Итак, третья сторона треугольника параллельна плоскости $$\alpha$$.
Ответ: $$BC \parallel \alpha$$.
