Упр.519 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, через $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда диагонали трёх граней равны:

$$a^2+c^2=81,$$

$$b^2+c^2=49,$$

$$a^2+b^2=64.$$

Вычтем из первого равенства второе:

$$a^2-b^2=32.$$

Сложим это равенство с третьим:

$$a^2-b^2+a^2+b^2=32+64,$$

$$2a^2=96,$$

$$a^2=48,\quad a=4\sqrt{3}.$$

Тогда

$$b^2=64-48=16,\quad b=4,$$

$$c^2=49-16=33,\quad c=\sqrt{33}.$$

Найдём объём параллелепипеда:

$$V=abc=4\sqrt{3}\cdot 4\cdot \sqrt{33}=16\sqrt{99}=48\sqrt{11}.$$

Ответ

$$48\sqrt{11}\ \text{см}^3$$