Упр.517 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
Обозначим радиус сферы через $$R$$, а радиус основания конуса — через $$r$$, высоту конуса — через $$h$$, образующую — через $$l$$.
По условию $$h=d=2R$$, а диаметр основания конуса равен образующей, значит
$$l=2r.$$
Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике с катетами $$h$$ и $$r$$ и гипотенузой $$l$$ имеем
$$l^2=h^2+r^2.$$
Подставим $$l=2r$$ и $$h=2R$$:
$$(2r)^2=(2R)^2+r^2$$
$$4r^2=4R^2+r^2$$
$$3r^2=4R^2,\qquad r^2=\frac{4R^2}{3}.$$
Тогда полная поверхность конуса равна
$$S_{\text{конуса}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}} =\pi r^2+\pi rl.$$
Так как $$l=2r$$, получаем
$$S_{\text{конуса}}=\pi r^2+2\pi r^2=3\pi r^2 =3\pi\cdot \frac{4R^2}{3}=4\pi R^2.$$
Площадь сферы:
$$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2.$$
Следовательно,
$$S_{\text{сферы}}=S_{\text{конуса}}.$$
Ответ
$$S_{\text{сферы}}=S_{\text{конуса}}.$$
