Упр.517 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.
Обозначим радиус сферы через $$R$$, а радиус основания конуса — через $$r$$. Тогда по условию
$$d=2R,\qquad d_0=2r,\qquad h=d,\qquad d_0=l,$$
где $$h$$ — высота конуса, $$l$$ — его образующая.
Рассмотрим осевое сечение конуса. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$ и катетами $$h$$ и $$r$$ имеем
$$l^2=h^2+r^2.$$
Так как по условию $$h=d=2R$$ и $$l=d_0=2r$$, то
$$ (2r)^2=(2R)^2+r^2,$$
откуда
$$4r^2=4R^2+r^2,\qquad 3r^2=4R^2,\qquad r^2=\frac{4R^2}{3}.$$
Теперь найдём площадь полной поверхности конуса:
$$S_{\text{конуса}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=\pi r^2+\pi rl.$$
Подставим $$l=2r$$:
$$S_{\text{конуса}}=\pi r^2+2\pi r^2=3\pi r^2.$$
С учётом $$r^2=\frac{4R^2}{3}$$ получаем
$$S_{\text{конуса}}=3\pi\cdot \frac{4R^2}{3}=4\pi R^2.$$
Но площадь сферы равна
$$S_{\text{сферы}}=4\pi R^2.$$
Следовательно,
$$S_{\text{сферы}}=S_{\text{конуса}}.$$
Ответ
$$S_{\text{сферы}}=S_{\text{полной поверхности конуса}}.$$