Упр.514 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.

Пусть сектор вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов, например вокруг $$OB$$. Тогда $$\angle COB=\angle BOA=30^\circ$$, значит

$$\angle COA=60^\circ.$$

Так как $$CO=OA=R$$, то треугольник $$COA$$ равносторонний. Следовательно, $$CA=R$$, а точка $$D$$ — середина отрезка $$CA$$, поэтому

$$CD=DA=\frac{R}{2}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CDO$$. По теореме Пифагора

$$ OD=\sqrt{CO^2-CD^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2}R. $$

Высота шарового сектора равна

$$ h=DB=OB-OD=R-\frac{\sqrt{3}}{2}R =R\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $$

Объём шарового сектора вычисляется по формуле

$$ V=\frac{2}{3}\pi R^2h. $$

Подставим найденное значение $$h$$:

$$ V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot R\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi R^3. $$

Ответ

$$V=\frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi R^3.$$