Упр.514 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Круговой сектор с углом $$30^\circ$$ и радиусом $$R$$ вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объём получившегося шарового сектора.
Пусть сектор вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов, например вокруг радиуса $$OB$$. Тогда центральный угол сектора равен $$30^\circ$$, а угол между радиусами $$OA$$ и $$OC$$ равен $$60^\circ$$.
Так как $$OA=OC=R$$, то треугольник $$AOC$$ равносторонний. Следовательно, высота $$OD$$, опущенная из вершины $$O$$ на хорду $$AC$$, делит её пополам:
$$CD=DA=\frac{AC}{2}=\frac{R}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$COD$$ имеем:
$$OD=\sqrt{OC^2-CD^2} =\sqrt{R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3R^2}{4}} =\frac{R\sqrt{3}}{2}.$$
Высота шарового сектора равна
$$h=DB=OB-OD=R-\frac{R\sqrt{3}}{2} =R\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).$$
Объём шарового сектора вычисляется по формуле
$$V=\frac{2}{3}\pi R^2h.$$
Подставим найденное значение $$h$$:
$$V=\frac{2}{3}\pi R^2\cdot R\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) =\frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi R^3.$$
Ответ: $$V=\frac{2-\sqrt{3}}{3}\pi R^3.$$
