Упр.511 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Диаметр шара разделен на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен $$R$$.

Пусть плоскости, проведённые через точки деления диаметра, отсекают от шара два крайних сегмента и средний шаровой слой. Диаметр разделён на три равные части, значит высота каждого из крайних сегментов равна

$$h=\frac{2R}{3}.$$

Объём шарового сегмента высоты $$h$$ равен

$$V_{\text{сег}}=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда объём одного крайнего сегмента:

$$V_1=\pi\left(\frac{2R}{3}\right)^2\left(R-\frac{1}{3}\cdot\frac{2R}{3}\right) =\pi\cdot\frac{4R^2}{9}\cdot\frac{7R}{9} =\frac{28}{81}\pi R^3.$$

Оба крайних сегмента имеют объём

$$V_{\text{крайних}}=2V_1=\frac{56}{81}\pi R^3.$$

Объём шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Следовательно, объём шарового слоя равен разности:

$$V_{\text{слоя}}=V_{\text{шара}}-V_{\text{крайних}}=\frac{4}{3}\pi R^3-\frac{56}{81}\pi R^3 =\frac{108-56}{81}\pi R^3 =\frac{52}{81}\pi R^3.$$

Ответ: $$\frac{52}{81}\pi R^3$$.