Упр.510 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объём шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен $$60\ \text{см}$$, а радиус шара равен $$75\ \text{см}$$.

Обозначим радиус шара через $$R=75\text{ см}$$, а радиус окружности основания сегмента — через $$r=60\text{ см}$$. Пусть $$h$$ — высота шарового сегмента.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, высотой сегмента и радиусом основания. Тогда

$$r^2+h^2=2Rh,$$

то есть

$$60^2+h^2=2\cdot 75\cdot h,$$

$$h^2-150h+3600=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=150^2-4\cdot 3600=22500-14400=8100,$$

$$h=\frac{150\pm 90}{2}.$$

Получаем два значения высоты:

$$h_1=120\text{ см},\qquad h_2=30\text{ см}.$$

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле

$$V=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда

$$V_1=\pi\cdot 120^2\left(75-\frac{120}{3}\right)=\pi\cdot 14400\cdot 35=504000\pi\text{ см}^3,$$

$$V_2=\pi\cdot 30^2\left(75-\frac{30}{3}\right)=\pi\cdot 900\cdot 65=58500\pi\text{ см}^3.$$

Ответ: $$58500\pi\text{ см}^3$$ или $$504000\pi\text{ см}^3$$.