Упр.51 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что плоскости а и p параллельны, если две пересекающиеся прямые m и n плоскости а параллельны плоскости р.

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$\alpha \cap \beta \ne \varnothing.$$ Тогда плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по некоторой прямой $$l$$.

Так как $$m \parallel \beta$$ и $$m \subset \alpha,$$ то прямая $$m$$ не пересекает плоскость $$\beta$$. Значит, она не пересекает и прямую $$l$$, лежащую в плоскости $$\beta$$. Следовательно, $$m \parallel l$$.

Аналогично, из $$n \parallel \beta$$ и $$n \subset \alpha$$ получаем $$n \parallel l$$.

Через точку $$B = m \cap n$$ в плоскости $$\alpha$$ проходят две различные прямые $$m$$ и $$n$$, параллельные одной и той же прямой $$l$$. Но это невозможно, так как через одну точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Получили противоречие. Значит, предположение неверно, и плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ не пересекаются.

Следовательно, $$\alpha \parallel \beta.$$

Ответ

$$\alpha \parallel \beta.$$