Упр.51 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что плоскости $$а$$ и $$p$$ параллельны, если две пересекающиеся прямые $$m$$ и $$n$$ плоскости $$а$$ параллельны плоскости $$р$$.

Докажем утверждение от противного.

Пусть $$\alpha \cap \beta \ne \varnothing.$$ Тогда существует прямая $$l=\alpha \cap \beta.$$

Так как $$m \parallel \beta$$ и $$m \subset \alpha,$$ то прямая $$m$$ не пересекает плоскость $$\beta$$. Следовательно, в плоскости $$\alpha$$ через точку пересечения прямых $$m$$ и $$n$$ можно провести прямую, параллельную $$l$$. Аналогично, из $$n \parallel \beta$$ следует, что в плоскости $$\alpha$$ через ту же точку можно провести ещё одну прямую, параллельную $$l$$.

Но через одну точку плоскости можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Получаем противоречие.

Значит, предположение неверно, и $$\alpha \cap \beta = \varnothing.$$ Следовательно, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны.

Ответ: $$\alpha \parallel \beta.$$