Упр.509 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара?

Пусть радиус каждого шара равен $$R$$, а центры шаров — $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как центр одного шара лежит на поверхности другого, то

$$O_1O_2=R.$$

Общая часть шаров состоит из двух равных сферических сегментов. Рассмотрим один из них. Его высота равна половине расстояния между центрами:

$$h=\frac{R}{2}.$$

Объём сферического сегмента высоты $$h$$ равен

$$V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Тогда

$$V_1=\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\left(R-\frac{1}{3}\cdot\frac{R}{2}\right) =\pi\cdot\frac{R^2}{4}\cdot\frac{5R}{6} =\frac{5\pi R^3}{24}.$$

Объём общей части шаров:

$$V_{\text{общ}}=2V_1=2\cdot\frac{5\pi R^3}{24}=\frac{5\pi R^3}{12}.$$

Объём одного шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4\pi R^3}{3}.$$

Искомое отношение:

$$\frac{V_{\text{общ}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{5\pi R^3}{12}\cdot\frac{3}{4\pi R^3} = \frac{5}{16}.$$

Ответ: $$\frac{5}{16}$$.