Упр.508 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

Подробный ответ

Рассмотрим осевое сечение шарового сегмента. Получаем прямоугольный треугольник, в котором $$OB=R$$ — радиус шара, $$AB=r=5$$ м — радиус основания сегмента, $$OA=R-h$$, где $$h=0{,}6$$ м — высота сегмента.

По теореме Пифагора:

$$R^2=(R-h)^2+r^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=R^2-2Rh+h^2+r^2,$$

откуда

$$2Rh=h^2+r^2,$$

$$R=\frac{h^2+r^2}{2h}=\frac{0{,}6^2+5^2}{2\cdot 0{,}6}=\frac{0{,}36+25}{1{,}2}=\frac{25{,}36}{1{,}2}=\frac{317}{15}\text{ м}.$$

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле:

$$V=\pi h^2\left(R-\frac{1}{3}h\right).$$

Подставим значения:

$$V=\pi\cdot 0{,}6^2\left(\frac{317}{15}-\frac{1}{3}\cdot 0{,}6\right) =\pi\cdot 0{,}36\left(\frac{317}{15}-0{,}2\right).$$

Так как $$0{,}36=\frac{9}{25}$$ и $$0{,}2=\frac{1}{5}=\frac{3}{15},$$ то

$$V=\pi\cdot \frac{9}{25}\left(\frac{317}{15}-\frac{3}{15}\right) =\pi\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{314}{15} =\frac{2826}{375}\pi =\frac{942}{125}\pi\ \text{м}^3.$$