Упр.508 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

Рассмотрим шаровой сегмент радиуса основания $$r=5\text{ м}$$ и высоты $$h=0{,}6\text{ м}.$$

Пусть $$R$$ — радиус шара. Тогда в осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, для которого

$$R^2=(R-h)^2+r^2.$$

Раскроем скобки:

$$R^2=R^2-2Rh+h^2+r^2,$$

откуда

$$2Rh=h^2+r^2,$$

$$R=\frac{h^2+r^2}{2h}=\frac{0{,}6^2+5^2}{2\cdot 0{,}6}=\frac{0{,}36+25}{1{,}2}=\frac{25{,}36}{1{,}2}=\frac{317}{15}\text{ м}.$$

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле

$$V=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right).$$

Подставим значения:

$$V=\pi\cdot 0{,}6^2\left(\frac{317}{15}-\frac{0{,}6}{3}\right) =\pi\cdot 0{,}36\left(\frac{317}{15}-0{,}2\right).$$

Так как $$0{,}36=\frac{9}{25}$$ и $$0{,}2=\frac{1}{5},$$ то

$$V=\pi\cdot \frac{9}{25}\left(\frac{317}{15}-\frac{1}{5}\right) =\pi\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{314}{15} =\frac{2826}{375}\pi =\frac{942}{125}\pi\text{ м}^3.$$

Ответ: $$\frac{942}{125}\pi\text{ м}^3.$$