Упр.506 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. Ha него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Подробный ответ

Обозначим радиус верхнего отверстия стаканчика и полушарий через $$r=\frac{5}{2}\text{ см}$$.

Найдём объём двух ложек мороженого. Две полусферы составляют шар, значит их объём равен объёму шара радиуса $$r$$:

$$ V_{\text{м}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{5}{2}\right)^3 =\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{125}{8} =\frac{125\pi}{6}\text{ см}^3. $$

Теперь найдём объём конического стаканчика. Для конуса

$$ V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi r^2h, $$

где $$h=12\text{ см}$$, $$r=\frac{5}{2}\text{ см}$$. Тогда

$$ V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{5}{2}\right)^2\cdot 12 =\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{25}{4}\cdot 12 =25\pi\text{ см}^3. $$

Сравним объёмы:

$$ 25\pi \approx 78{,}5,\qquad \frac{125\pi}{6}\approx 65{,}4. $$

Так как $$V_{\text{м}} < V_{\text{к}}$$, то после таяния мороженое не переполнит стаканчик.