Упр.506 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

Подробный ответ

Обозначим радиус верхнего отверстия стаканчика и полушарий через $$r=\frac{5}{2}\text{ см}.$$

Найдём объём двух ложек мороженого. Объём одного полушария равен половине объёма шара:

$$V_{\text{1 полуш.}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3.$$

Тогда объём двух полушарий:

$$V_{\text{м}}=2\cdot \frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{5}{2}\right)^3=\frac{125\pi}{6}\text{ см}^3.$$

Теперь найдём объём конического стаканчика. Для конуса

$$V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi r^2h,$$

где $$h=12\text{ см}.$$ Тогда

$$V_{\text{к}}=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{5}{2}\right)^2\cdot 12=25\pi\text{ см}^3.$$

Сравним объёмы:

$$25\pi=\frac{150\pi}{6}>\frac{125\pi}{6}.$$