Упр.502 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: B усеченном конусе известны высота h, образующая 1 и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объем усеченного конуса.

Подробный ответ

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$r_1$$ и $$r_2$$, а образующую — через $$l$$. Тогда площадь боковой поверхности усечённого конуса равна

$$S=\pi(r_1+r_2)l.$$

Отсюда

$$r_1+r_2=\frac{S}{\pi l}.$$

В осевом сечении получаем равнобедренную трапецию с основаниями $$2r_1$$ и $$2r_2$$ и высотой $$h$$, поэтому её площадь равна

$$S_{\text{ос}}=\frac{2r_1+2r_2}{2}\cdot h=(r_1+r_2)h=\frac{Sh}{\pi l}.$$

Для объёма усечённого конуса используем формулу

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(r_1^2+r_2^2+r_1r_2\right).$$

Найдём выражение для $$r_1r_2$$. По теореме Пифагора для образующей:

$$h^2+(r_1-r_2)^2=l^2,$$

значит

$$r_1-r_2=\sqrt{l^2-h^2}.$$

Тогда

$$ r_1r_2=\frac{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}{4} =\frac{\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2-(l^2-h^2)}{4}. $$

Кроме того,

$$ r_1^2+r_2^2=(r_1+r_2)^2-2r_1r_2. $$

Подставляя в формулу объёма, получаем

$$ V=\frac{1}{3}\pi h\left((r_1+r_2)^2-r_1r_2\right) =\frac{1}{3}\pi h\left(\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2-\frac{\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2-(l^2-h^2)}{4}\right). $$

Упростим:

$$ V=\frac{h}{4\pi l^2}S^2+\frac{\pi h(l^2-h^2)}{12}. $$