Упр.502 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В усечённом конусе известны высота $$h$$, образующая $$l$$ и площадь $$S$$ боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объём усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса через $$R$$ и $$r$$, где $$R>r$$.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна

$$S=\pi(R+r)l,$$

а высота, образующая и разность радиусов связаны теоремой Пифагора:

$$l^2=h^2+(R-r)^2.$$

Отсюда

$$R+r=\frac{S}{\pi l}, \qquad R-r=\sqrt{l^2-h^2}.$$

Сложим и вычтем эти равенства:

$$R=\frac{1}{2}\left(\frac{S}{\pi l}+\sqrt{l^2-h^2}\right), \qquad r=\frac{1}{2}\left(\frac{S}{\pi l}-\sqrt{l^2-h^2}\right).$$

Объём усечённого конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Так как

$$R^2+Rr+r^2=\frac{3(R+r)^2+(R-r)^2}{4},$$

то

$$V=\frac{\pi h}{12}\left(3\left(\frac{S}{\pi l}\right)^2+\left(l^2-h^2\right)\right) =\frac{hS^2}{4\pi l^2}+\frac{\pi h(l^2-h^2)}{12}.$$

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями $$2R$$ и $$2r$$ и высотой $$h$$, поэтому

$$S_{\text{ос}}=\frac{2R+2r}{2}\cdot h=(R+r)h=\frac{Sh}{\pi l}.$$

Ответ: $$V=\frac{hS^2}{4\pi l^2}+\frac{\pi h(l^2-h^2)}{12}, \qquad S_{\text{ос}}=\frac{Sh}{\pi l}.$$