Упр.501 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиусы оснований усечённого конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объём усечённого конуса.

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса: $$r=3\text{ м}$$ и $$R=6\text{ м}$$, образующую: $$l=5\text{ м}$$.

Найдём высоту $$h$$. В осевом сечении усечённого конуса получаем прямоугольный треугольник, у которого один катет равен разности радиусов оснований:

$$R-r=6-3=3\text{ м}.$$

По теореме Пифагора:

$$h^2+(R-r)^2=l^2,$$

$$h^2+3^2=5^2,$$

$$h^2=25-9=16,$$

$$h=4\text{ м}.$$

Теперь найдём объём усечённого конуса по формуле:

$$V=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$

Подставим значения:

$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot 4\left(6^2+6\cdot 3+3^2\right)=\frac{4}{3}\pi(36+18+9)=\frac{4}{3}\pi\cdot 63=84\pi.$$

Ответ: $$84\pi\ \text{м}^3$$.