Упр.500 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь полной поверхности конуса равна $$45\pi\ \text{дм}^2$$. Развёрнутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом $$60^\circ$$. Найдите объём конуса.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — образующая, $$h$$ — высота.

Полная поверхность конуса:

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=\pi r^2+\pi rl=45\pi.$$

Отсюда

$$r^2+rl=45.$$

Боковая поверхность при развертке — сектор с углом $$60^\circ$$, поэтому

$$\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac{r}{l},$$

значит

$$l=6r.$$

Подставим в первое уравнение:

$$r^2+r\cdot 6r=45,$$

$$7r^2=45,$$

$$r^2=\frac{45}{7}.$$

Теперь найдём высоту по теореме Пифагора:

$$h^2=l^2-r^2=(6r)^2-r^2=35r^2,$$

$$h=r\sqrt{35}.$$

Тогда объём конуса равен

$$V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot r\sqrt{35}.$$

Так как $$r=\sqrt{\frac{45}{7}},$$ получаем

$$V=\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot \sqrt{\frac{45}{7}}\cdot \sqrt{35} =\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot \sqrt{225} =\frac13\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot 15 =\frac{225\pi}{7}.$$

Ответ: $$\frac{225\pi}{7}\ \text{дм}^3$$.