Упр.500 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм2. Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — образующая, $$h$$ — высота.

Площадь полной поверхности конуса:

$$S_{\text{полн}}=\pi r^2+\pi rl=45\pi.$$

Развёртка боковой поверхности — сектор с углом $$60^\circ$$, поэтому

$$\frac{60^\circ}{360^\circ}=\frac{r}{l},$$

откуда

$$l=6r.$$

Подставим это в формулу площади:

$$\pi r^2+\pi r\cdot 6r=45\pi,$$

$$7r^2=45,$$

$$r^2=\frac{45}{7}.$$

Теперь найдём высоту по теореме Пифагора:

$$h^2=l^2-r^2=(6r)^2-r^2=35r^2,$$

$$h=r\sqrt{35}.$$

Тогда объём конуса равен

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot r\sqrt{35}.$$

Так как $$r=\sqrt{\frac{45}{7}},$$ получаем

$$V=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot \sqrt{\frac{45}{7}}\sqrt{35}=\frac{1}{3}\pi\cdot \frac{45}{7}\cdot 15=\frac{225\pi}{7}.$$

Ответ

$$\frac{225\pi}{7}\ \text{дм}^3$$