Исследовательские задачи Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Четыре из двенадцати точек сферы Эйлера делят отрезок,который соединяет вершину и ортоцентр,
в отношении 2:1,четыре точки центроиды граней, а все оставшиеся четыре точки ортоцентры граней;
В правильном тетраэдре центроиды и ортоцентры каждой из граней совпадают,значит имеется всего
восемь несовпадающих точек для сферы Эйлера;
Пусть в тетраэдре три ребра при одной грани равны друг другу,три другие ребра также равны друг другу, но не равны первым трем ребрам,этот тетраэдр будет ортоцентрическим (сумма квадратов противоположных граней),одна грань имеет одну точку,а три грани имеют две точки Эйлера,то есть всего есть одинадцать точек;
Ответ: может быть 8,11 или 12 точек.

Сфера Эйлера проходит через 12 точек тетраэдра: 4 точки, делящие отрезки, соединяющие вершины с ортоцентром, в отношении $$2:1$$, 4 центроида граней и 4 ортоцентра граней.

Рассмотрим, когда эти точки могут совпадать.

1) Правильный тетраэдр. В каждой грани центроид совпадает с ортоцентром. Значит, из 12 точек остаются только 8 различных.

2) Ортоцентрический тетраэдр. Если в тетраэдре три ребра, выходящие из одной вершины, равны между собой, и три противоположных ребра тоже равны между собой, но не равны первым трём, то тетраэдр является ортоцентрическим. В этом случае в одной грани центроид и ортоцентр совпадают, а в трёх остальных гранях — нет. Тогда одна грань даёт одну точку, а три грани — по две точки, всего получается 11 различных точек.

3) Общий случай. Если никаких совпадений нет, то все 12 точек различны.

Таким образом, среди 12 точек сферы Эйлера может быть $$8$$, $$11$$ или $$12$$ различных точек.

Ответ

$$8,\ 11,\ 12$$.