Исследовательские задачи Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Исследуйте, сколько различных точек может быть среди тех 12 точек, через которые проходит сфера Эйлера.

Рассмотрим, какие из 12 точек, через которые проходит сфера Эйлера тетраэдра, могут совпадать.

Сфера Эйлера проходит через:

• 4 точки, делящие отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с его ортоцентром, в отношении $$2:1$$;
• 4 центроида граней;
• 4 ортоцентра граней.

Если тетраэдр правильный, то в каждой грани центроид совпадает с ортоцентром. Тогда из 12 точек остаётся только 8 различных точек: 4 точки на отрезках вершина — ортоцентр и 4 общие точки центроидов и ортоцентров граней.

Если тетраэдр ортоцентрический и при этом одна грань имеет одну точку Эйлера, а три остальные грани — по две различные точки Эйлера, то всего получается $$1+3\cdot 2+4=11$$ различных точек.

В общем случае все 12 точек могут быть различными.

Ответ: $$8,\ 11,\ 12$$.