Практика Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

По четырём дорогам, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, с постоянными скоростями идут 4 пешехода. Известно, что первый пешеход встретился со вторым, третьим и четвёртым, а второй — с третьим и четвёртым. Докажите, что третий пешеход встретился с четвёртым.

Введём систему координат: ось $$OT$$ будем считать осью времени, а оси $$OX$$ и $$OY$$ — координатами пешеходов в данный момент.

Тогда движение каждого пешехода с постоянной скоростью изображается прямой в пространстве «координата — время».

Так как первый пешеход встретился со вторым и третьим, то прямые, соответствующие пешеходам $$1$$, $$2$$ и $$3$$, имеют общую точку. Значит, они лежат в одной плоскости.

Аналогично, поскольку первый пешеход встретился со вторым и четвёртым, то прямые $$1$$, $$2$$ и $$4$$ также лежат в одной плоскости.

Но через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Следовательно, плоскости, содержащие прямые $$1,2,3$$ и $$1,2,4$$, совпадают. Значит, прямые $$3$$ и $$4$$ лежат в одной плоскости, а это означает, что третий пешеход встретился с четвёртым.

Ответ: третий пешеход встретился с четвёртым.