Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высоты треугольника $$ABC$$ пересекаются в точке $$H$$. Известно, что $$CH=AB$$. Найдите угол $$ACB$$.

Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CHE$$.

Так как $$BE \perp AC$$ и $$CD \perp AB,$$ то $$\angle AEB=90^\circ$$ и $$\angle CHD=90^\circ.$$ Кроме того, точки $$A,H,F$$ лежат на одной прямой, а точки $$C,H,D$$ — на одной прямой, поэтому $$\angle CHE=\angle BHD,$$ а также $$\angle ECH=\angle EBA.$$

Следовательно, $$\triangle ABE \cong \triangle CHE$$, откуда $$AE=EH.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AEH.$$ В нём $$AE=EH,$$ значит, он равнобедренный, и

$$\angle HAE=\frac{90^\circ}{2}=45^\circ.$$

Так как $$AE \subset AC,$$ то $$\angle HAC=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ACB$$ имеем

$$\angle ACB=90^\circ-\angle HAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.