Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием прямой призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$ с гипотенузой $$AC$$. Найдите тангенс угла между плоскостью $$A_1B_1C_1$$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $$AA_1$$ и прямую $$BC$$, если $$AB=4$$, $$BB_1=12$$.

В призме $$ABCA_1B_1C_1$$ плоскость $$A_1B_1C_1$$ параллельна плоскости основания $$ABC$$. Поэтому угол между плоскостью $$A_1B_1C_1$$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $$AA_1$$ и прямую $$BC$$, равен углу между плоскостью основания и этой плоскостью.

Обозначим через $$D$$ середину ребра $$AA_1$$. Тогда $$AD=\dfrac{AA_1}{2}$$. Так как призма прямая, то $$AA_1\perp AB$$ и $$AA_1\perp BC$$, а значит $$AD\perp AB$$ и $$BC\perp AB$$. Следовательно, прямая $$AB$$ перпендикулярна плоскости $$DBC$$, и искомый угол равен $$\angle DBA$$.

Найдём $$AD$$:

$$AA_1=BB_1=12,$$

значит

$$AD=\frac{AA_1}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$

$$\tan \angle DBA=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

Ответ: $$\frac{3}{2}$$.