Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.5 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием прямой призмы ABCA_1B_1C_1 является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС. Найдите тангенс угла между плоскостью A_1B_1C_1 и плоскостью, проходящей через середину ребра AA_1 и прямую ВС, если AB=4, BB_1=12.

Обозначим через $$D$$ середину ребра $$AA_1$$. Тогда плоскость, проходящая через прямую $$BC$$ и точку $$D$$, пересекает плоскость основания по прямой $$BD$$.

Так как призма прямая, то $$AA_1 \perp (ABC)$$, значит $$AA_1 \perp AB$$ и $$AA_1 \perp BC$$. Кроме того, по условию $$\angle ABC=90^\circ$$, поэтому $$AB \perp BC$$.

Следовательно, прямая $$BD$$ лежит в искомой плоскости и перпендикулярна $$BC$$, а угол между плоскостями равен углу $$\angle DBA$$.

Найдём $$AD$$. Так как $$D$$ — середина $$AA_1$$, а $$AA_1=BB_1=12$$, то

$$AD=\frac{AA_1}{2}=6.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABD$$ имеем

$$\tan \angle DBA=\frac{AD}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

Ответ

$$\frac{3}{2}$$