Упр.498 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Найдите объём конуса, если его образующая равна $$13\ \text{см}$$, а площадь осевого сечения равна $$60\ \text{см}^2$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота, $$l=13$$ см — образующая.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $$2r$$ и высотой $$h$$, поэтому

$$S_{\text{осевого сечения}}=\frac12\cdot 2r\cdot h=rh=60.$$

Кроме того, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой $$l$$:

$$h^2+r^2=l^2=169.$$

Из равенства $$rh=60$$ получаем $$h=\frac{60}{r}$$. Подставим в уравнение Пифагора:

$$\left(\frac{60}{r}\right)^2+r^2=169.$$

Умножим на $$r^2$$:

$$3600+r^4=169r^2.$$

Обозначим $$t=r^2$$. Тогда

$$t^2-169t+3600=0.$$

Найдём корни:

$$D=169^2-4\cdot 3600=14161=119^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{169\pm 119}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=144,\quad t_2=25.$$

Значит, возможны два варианта:

$$r=12,\ h=5$$

или

$$r=5,\ h=12.$$

Теперь найдём объём конуса по формуле

$$V=\frac13\pi r^2h.$$

Тогда

$$V_1=\frac13\pi\cdot 12^2\cdot 5=240\pi,$$

$$V_2=\frac13\pi\cdot 5^2\cdot 12=100\pi.$$

Ответ: $$240\pi\ \text{см}^3$$ или $$100\pi\ \text{см}^3$$.