Упр.498 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см2.
Обозначим радиус основания конуса через $$r$$, высоту — через $$h$$, образующую — через $$l$$. Тогда
$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h.$$
Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $$2r$$ и высотой $$h$$, поэтому его площадь равна
$$S_{\text{осев. сеч.}}=\frac{1}{2}\cdot 2r \cdot h=rh.$$
По условию
$$rh=60.$$
Кроме того, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l=13$$ имеем
$$h^2+r^2=13^2=169.$$
Из $$h=\frac{60}{r}$$ получаем
$$\left(\frac{60}{r}\right)^2+r^2=169.$$
Умножим на $$r^2$$:
$$3600+r^4=169r^2.$$
Положим $$t=r^2$$. Тогда
$$t^2-169t+3600=0.$$
Дискриминант:
$$D=169^2-4\cdot 3600=14161=119^2.$$
Следовательно,
$$t_{1,2}=\frac{169\pm 119}{2}.$$
Отсюда
$$t_1=144,\quad t_2=25.$$
Значит, возможны два случая:
$$r=12,\quad h=\frac{60}{12}=5,$$
или
$$r=5,\quad h=\frac{60}{5}=12.$$
Тогда объём конуса равен
$$V_1=\frac{1}{3}\pi\cdot 12^2\cdot 5=240\pi,$$
$$V_2=\frac{1}{3}\pi\cdot 5^2\cdot 12=100\pi.$$
Ответ
$$V=240\pi\ \text{см}^3$$ или $$V=100\pi\ \text{см}^3$$.