Упр.496 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объём конуса, если площадь его основания равна $$Q$$, а площадь боковой поверхности равна $$Р$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$l$$ — образующая, $$h$$ — высота.

Тогда

$$S_{\text{осн}}=\pi r^2=Q,$$

откуда

$$r^2=\frac{Q}{\pi}.$$

Площадь боковой поверхности конуса равна

$$S_{\text{бок}}=\pi r l=P,$$

значит

$$l=\frac{P}{\pi r}=\frac{P}{\sqrt{Q\pi}}.$$

По теореме Пифагора для образующей, радиуса и высоты:

$$h^2=l^2-r^2.$$

Подставим найденные значения:

$$h^2=\frac{P^2}{Q\pi}-\frac{Q}{\pi} =\frac{P^2-Q^2}{Q\pi},$$

следовательно,

$$h=\sqrt{\frac{P^2-Q^2}{Q\pi}}.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^2h =\frac{1}{3}\cdot Q \cdot \sqrt{\frac{P^2-Q^2}{Q\pi}} =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{Q\,(P^2-Q^2)}{\pi}}.$$

Ответ: $$V=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{Q\,(P^2-Q^2)}{\pi}}.$$