Упр.493 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований равны $$6\ \text{см}$$ и $$4\ \text{см}$$, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна $$15\ \text{см}^2$$. Найдите объём усечённой пирамиды.

Пусть основания усечённой правильной четырёхугольной пирамиды — квадраты со сторонами $$6$$ см и $$4$$ см. Тогда их площади равны

$$S_1=6^2=36,\qquad S_2=4^2=16.$$

Плоскость, проходящая через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, даёт сечение в виде трапеции. Её основания равны диагоналям квадратов:

$$d_1=6\sqrt{2},\qquad d_2=4\sqrt{2}.$$

Площадь трапеции равна

$$15=\frac{d_1+d_2}{2}\cdot h=\frac{6\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\cdot h=5\sqrt{2}\,h,$$

откуда

$$h=\frac{15}{5\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Это и есть высота усечённой пирамиды. Тогда её объём:

$$V=\frac{1}{3}h\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right).$$

Подставим значения:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(36+16+\sqrt{36\cdot 16}\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}(36+16+24) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 76 =38\sqrt{2}.$$

Ответ: $$38\sqrt{2}\text{ см}^3$$