Упр.492 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды.

Подробный ответ

Найдём объём полной пирамиды и затем вычтем объём отсечённой верхней части.

Площадь основания — прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18=216\ \text{дм}^2.$$

Найдём сторону $$AB$$:

$$AB=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30\ \text{дм}.$$

Так как все боковые рёбра пирамиды равны $$25$$ дм, то вершина $$D$$ равноудалена от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Следовательно, проекция вершины $$D$$ на плоскость основания — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ этот центр — середина гипотенузы $$AB$$, значит

$$CH=AH=BH=15\ \text{дм}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DHB$$:

$$DH=\sqrt{DB^2-BH^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20\ \text{дм}.$$

Это высота полной пирамиды. Тогда её объём равен

$$V_{\text{полн}}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot DH=\frac{1}{3}\cdot 216\cdot 20=1440\ \text{дм}^3.$$

Плоскость, параллельная основанию и проходящая через середину бокового ребра, отсекает подобную пирамиду с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$. Поэтому объём верхней пирамиды в $$\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}$$ раза меньше объёма полной:

$$V_{\text{верх}}=\frac{1}{8}V_{\text{полн}}=\frac{1}{8}\cdot 1440=180\ \text{дм}^3.$$

Тогда объём усечённой пирамиды:

$$V=V_{\text{полн}}-V_{\text{верх}}=1440-180=1260\ \text{дм}^3.$$