Упр.492 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны $$24\ \text{дм}$$ и $$18\ \text{дм}$$. Каждое боковое ребро равно $$25\ \text{дм}$$. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объём полученной усечённой пирамиды.
Пусть $$V$$ — объём исходной пирамиды, а $$V_1$$ — объём отсечённой верхней пирамиды. Тогда объём усечённой пирамиды равен $$V-V_1$$.
Так как секущая плоскость параллельна основанию и делит боковое ребро пополам, верхняя пирамида подобна исходной с коэффициентом подобия $$\frac{1}{2}$$. Поэтому
$$\frac{V_1}{V}=\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8},$$
значит, объём усечённой пирамиды составляет
$$V_{\text{усеч.}}=V-V_1=\left(1-\frac{1}{8}\right)V=\frac{7}{8}V.$$
Найдём объём исходной пирамиды. Основание — прямоугольный треугольник с катетами $$24$$ дм и $$18$$ дм, значит
$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 18=216\ \text{дм}^2.$$
Так как все боковые рёбра равны, вершина пирамиды равноудалена от вершин основания, а её проекция лежит в центре описанной окружности треугольника $$ABC$$. Для прямоугольного треугольника это середина гипотенузы, поэтому
$$AB=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{900}=30\ \text{дм},$$
$$CH=AH=BH=15\ \text{дм}.$$
В прямоугольном треугольнике с боковым ребром $$25$$ дм высота пирамиды равна
$$h=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20\ \text{дм}.$$
Тогда объём исходной пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 216\cdot 20=1440\ \text{дм}^3.$$
Следовательно, объём усечённой пирамиды:
$$V_{\text{усеч.}}=\frac{7}{8}\cdot 1440=1260\ \text{дм}^3.$$
Ответ: $$1260\ \text{дм}^3$$.
