Упр.491 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основания усечённой пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны $$m$$ и $$n$$ ($$m>n$$). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол $$\varphi$$. Найдите объём усечённой пирамиды.
Достроим усечённую пирамиду до полной пирамиды $$ABCD$$. Тогда
$$V_{ABCA_1B_1C_1}=V_{ABCD}-V_{A_1B_1C_1D}.$$
Так как $$BCD\perp ABC$$ и $$ABD\perp ABC,$$ то $$BD\perp ABC,$$ значит, $$BD$$ — высота пирамиды $$ABCD$$.
Основание $$ABC$$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$AC=m,$$ поэтому
$$AB=BC=\frac{m}{\sqrt2},$$
а его площадь равна
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot \frac{m}{\sqrt2}\cdot \frac{m}{\sqrt2}=\frac{m^2}{4}.$$
Рассмотрим сечение плоскостью $$DBC.$$ В прямоугольном треугольнике $$DBC$$ угол между боковой гранью и основанием равен $$\varphi,$$ поэтому
$$\tg\varphi=\frac{BH}{DH},$$
где $$H$$ — основание перпендикуляра из $$B$$ на прямую $$DC$$. Для равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой $$m$$ высота к гипотенузе равна
$$BH=\frac{m}{2}.$$
Тогда
$$BD=BH\cdot \tg\varphi=\frac{m}{2}\tg\varphi.$$
Следовательно,
$$V_{ABCD}=\frac13 S_{ABC}\cdot BD=\frac13\cdot \frac{m^2}{4}\cdot \frac{m}{2}\tg\varphi=\frac{m^3}{24}\tg\varphi.$$
Аналогично для меньшей пирамиды $$A_1B_1C_1D$$, у которой основание — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$n,$$ получаем
$$V_{A_1B_1C_1D}=\frac{n^3}{24}\tg\varphi.$$
Тогда объём усечённой пирамиды:
$$V_{ABCA_1B_1C_1}=\frac{m^3}{24}\tg\varphi-\frac{n^3}{24}\tg\varphi=\frac{m^3-n^3}{24}\tg\varphi.$$
Ответ: $$\frac{m^3-n^3}{24}\tg\varphi$$.
