Упр.491 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны m и n (m > n). Две боковые грани, содержащие катеты, перпендикулярны к основанию, а третья составляет с ним угол ф. Найдите объем усеченной пирамиды.

Достроим усечённую пирамиду до полной пирамиды. Обозначим её вершину через $$D$$, а нижнее основание — через $$ABC$$, верхнее — через $$A_1B_1C_1$$.

Тогда объём усечённой пирамиды равен разности объёмов двух пирамид:

$$V_{ABCA_1B_1C_1}=V_{ABCD}-V_{A_1B_1C_1D}.$$

Так как $$BCD \perp ABC$$ и $$ABD \perp ABC$$, то прямая $$BD$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, значит $$BD$$ — высота пирамиды $$ABCD$$.

Основание $$ABC$$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $$AC=m$$, поэтому его катеты равны

$$AB=BC=\frac{m}{\sqrt{2}}.$$

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$B$$ на прямую $$AC$$. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике

$$BH=\frac{m}{2},$$

а в прямоугольном треугольнике $$DBH$$

$$\tg\varphi=\frac{BD}{BH}, \qquad BD=BH\cdot\tg\varphi=\frac{m}{2}\tg\varphi.$$

Площадь основания пирамиды $$ABCD$$:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \frac{m}{\sqrt{2}}\cdot \frac{m}{\sqrt{2}}=\frac{m^2}{4}.$$

Тогда

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot BD=\frac{1}{3}\cdot \frac{m^2}{4}\cdot \frac{m}{2}\tg\varphi=\frac{m^3}{24}\tg\varphi.$$

Аналогично для верхней пирамиды $$A_1B_1C_1D$$, у которой гипотенуза основания равна $$n$$:

$$V_{A_1B_1C_1D}=\frac{n^3}{24}\tg\varphi.$$

Следовательно, объём усечённой пирамиды равен

$$V_{ABCA_1B_1C_1}=V_{ABCD}-V_{A_1B_1C_1D}=\frac{m^3-n^3}{24}\tg\varphi.$$

Ответ

$$V=\frac{m^3-n^3}{24}\tg\varphi.$$