Упр.490 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны $$a$$ и $$0{,}5a$$, апофема боковой грани равна $$a$$. Найдите объем усеченной пирамиды.

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды. Пусть её объём равен $$V$$, а объём отсечённой верхней пирамиды — $$V_1$$.

Так как стороны оснований относятся как $$a:\frac{a}{2}=2:1,$$ то линейный коэффициент подобия полной пирамиды и отсечённой равен $$2:1$$. Следовательно, их объёмы относятся как $$2^3:1^3=8:1$$, то есть

$$V_1=\frac18V,$$

а объём усечённой пирамиды равен

$$V_{\text{усеч.}}=V-V_1=\frac78V.$$

Найдём объём полной пирамиды. Её основание — правильный треугольник со стороной $$a$$, значит

$$S_{\triangle ABC}=\frac{a^2\sqrt3}{4}.$$

Апофема боковой грани усечённой пирамиды равна $$a$$. В полной пирамиде соответствующая апофема равна $$DH=a$$, а расстояние от центра основания до середины стороны основания равно радиусу вписанной окружности правильного треугольника:

$$OH=\frac{a}{2\sqrt3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ODH$$ по теореме Пифагора:

$$OD=\sqrt{DH^2-OH^2} =\sqrt{a^2-\frac{a^2}{12}} =a\sqrt{\frac{11}{12}}.$$

Тогда объём полной пирамиды:

$$V=\frac13 S_{\triangle ABC}\cdot OD =\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt{\frac{11}{12}} =\frac{a^3\sqrt{11}}{12}.$$

Следовательно, объём усечённой пирамиды:

$$V_{\text{усеч.}}=\frac78V =\frac78\cdot \frac{a^3\sqrt{11}}{12} =\frac{7\sqrt{11}}{96}a^3.$$

Ответ: $$\frac{7\sqrt{11}}{96}a^3$$.