Упр.489 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором AB = 20 см, AC = 29 см, BC = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60°. Найдите объем пирамиды.

Подробный ответ

Объём пирамиды равен

$$V=\frac13 S_{\triangle ABC}\cdot h,$$

где $$h$$ — высота пирамиды.

Так как грани $$DAB$$ и $$DAC$$ перпендикулярны к плоскости основания $$ABC$$, то прямая $$AD$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$. Значит, $$AD$$ — высота пирамиды.

Проведём в основании высоту $$AH\perp BC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$DH\perp BC$$, а угол между гранью $$DBC$$ и плоскостью основания равен линейному углу двугранного угла, то есть

$$\angle DHA=60^\circ.$$

Найдём площадь основания по формуле Герона:

$$ p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{20+29+21}{2}=35, $$

$$ S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} =\sqrt{35\cdot 15\cdot 6\cdot 14} =\sqrt{(14\cdot 15)^2}=210\ \text{см}^2. $$

Теперь найдём $$AH$$ из формулы площади треугольника:

$$ S_{\triangle ABC}=\frac12\cdot BC\cdot AH, $$

откуда

$$ AH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\cdot 210}{21}=20\ \text{см}. $$

В прямоугольном треугольнике $$ADH$$:

$$ \tan \angle DHA=\frac{AD}{AH}. $$

Так как $$\angle DHA=60^\circ$$, то

$$ AD=AH\tan 60^\circ=20\cdot \sqrt3=20\sqrt3\ \text{см}. $$