Упр.488 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объём треугольной пирамиды $$SABC$$, если:
а) $$\angle CAB=90^\circ$$, $$BC=c$$, $$\angle ABC=\varphi$$ и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\theta$$;
б) $$AB=12\text{ см}$$, $$BC=CA=10\text{ см}$$ и двугранные углы при основании равны $$45^\circ$$;
в) боковые рёбра попарно перпендикулярны и имеют длины $$a$$, $$b$$ и $$c$$.
а) Проведём высоту пирамиды $$SH$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$SAH$$, $$SBH$$ и $$SCH$$ имеем
$$\angle SHA=\angle SHB=\angle SHC=90^\circ,$$
а так как каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол $$\theta$$, то
$$\tan\theta=\frac{SH}{AH}=\frac{SH}{BH}=\frac{SH}{CH}.$$
Следовательно, $$AH=BH=CH$$, значит, точка $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Поскольку $$\angle BAC=90^\circ$$, то $$H$$ — середина гипотенузы $$BC$$, и
$$BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{c}{2}.$$
Тогда
$$SH=BH\tan\theta=\frac{c}{2}\tan\theta.$$
Площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot c\sin\varphi\cdot c\cos\varphi=\frac{c^2\sin 2\varphi}{4}.$$
Теперь объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{c^2\sin 2\varphi}{4}\cdot \frac{c}{2}\tan\theta=\frac{c^3\sin 2\varphi\tan\theta}{24}.$$
б) Пусть $$SO$$ — высота пирамиды. Так как двугранные углы при основании равны $$45^\circ$$, то расстояния от точки $$O$$ до всех сторон треугольника $$ABC$$ равны, значит, $$O$$ — центр вписанной окружности, а
$$SO=r,$$
где $$r$$ — радиус вписанной окружности треугольника $$ABC$$.
Найдём площадь основания по формуле Герона. Полупериметр:
$$p=\frac{10+10+12}{2}=16.$$
Тогда
$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-12)}=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48.$$
Следовательно,
$$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{48}{16}=3,$$
и потому
$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 3=48\ \text{см}^3.$$
в) Так как боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны и равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$, то объём треугольной пирамиды равен
$$V=\frac{1}{6}abc.$$
Ответ
а) $$V=\frac{c^3\sin 2\varphi\tan\theta}{24}$$; б) $$48\ \text{см}^3$$; в) $$V=\frac{abc}{6}$$.
