Упр.488 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если: а) ZCAB = 90°, BC = с, ZABC = ф и каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 0; б) AB = 12 см, BC = CA = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°; в) боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины а, b и с.

а) Проведём высоту пирамиды $$SH$$, где $$H \in BC$$. Так как каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания один и тот же угол $$\theta$$, то в прямоугольных треугольниках $$SAH$$, $$SBH$$, $$SCH$$ имеем

$$AH=BH=CH.$$

Значит, точка $$H$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Поскольку $$\angle CAB=90^\circ$$, треугольник $$ABC$$ прямоугольный, поэтому центр описанной окружности — середина гипотенузы $$BC$$. Следовательно,

$$BH=\frac{BC}{2}=\frac{c}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SBH$$

$$SH=BH \cdot \tg\theta=\frac{c}{2}\tg\theta.$$

Теперь найдём площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC.$$

Так как $$BC=c$$ и $$\angle ABC=\varphi$$, то

$$AB=c\cos\varphi,\qquad AC=c\sin\varphi.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}c^2\sin\varphi\cos\varphi=\frac{c^2}{4}\sin 2\varphi.$$

Следовательно, объём пирамиды

$$ V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SH =\frac{1}{3}\cdot \frac{c^2}{4}\sin 2\varphi \cdot \frac{c}{2}\tg\theta =\frac{c^3\tg\theta\sin 2\varphi}{24}. $$

б) Пусть $$SO$$ — высота пирамиды. Проведём в основании перпендикуляры $$OD$$, $$OE$$, $$OH$$ к сторонам треугольника $$ABC$$. Так как двугранные углы при основании равны $$45^\circ$$, то в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и этими перпендикулярами, получаем

$$OD=OE=OH=SO.$$

Значит, точка $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$SO=r$$, где $$r$$ — радиус вписанной окружности.

Найдём площадь основания по формуле Герона. Для треугольника со сторонами $$10$$, $$10$$ и $$12$$ имеем

$$p=\frac{10+10+12}{2}=16,$$

$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-10)(p-12)} =\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48. $$

Тогда

$$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{48}{16}=3.$$

Следовательно,

$$ V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO =\frac{1}{3}\cdot 48 \cdot 3=48\text{ см}^3. $$

в) Пусть боковые рёбра $$SA=a$$, $$SB=b$$, $$SC=c$$ и они попарно перпендикулярны. Тогда

$$ V=\frac{1}{6}\,SA\cdot SB\cdot SC=\frac{abc}{6}. $$

Ответ

а) $$V=\dfrac{c^3\tg\theta\sin 2\varphi}{24}$$; б) $$48\text{ см}^3$$; в) $$V=\dfrac{abc}{6}$$.