Упр.487 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием пирамиды является ромб со стороной $$6\ \text{см}$$. Каждый из двугранных углов при основании равен $$45^\circ$$. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна $$1{,}5\ \text{см}$$.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей ромба $$ABCD$$. Тогда вершина пирамиды $$K$$ проектируется в точку $$O$$, а $$KO$$ — высота пирамиды.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $$BC$$. Проведём в грани $$KBC$$ перпендикуляр $$KH$$ к ребру $$BC$$ и в основании перпендикуляр $$OH$$ к $$BC$$. Тогда угол между этими перпендикулярами равен двугранному углу, то есть

$$\angle KHO=45^\circ.$$

Так как $$KO\perp (ABCD)$$, то $$KO\perp OH$$, значит, треугольник $$KOH$$ прямоугольный. При этом $$KO=1{,}5$$ см, а из условия $$\angle KHO=45^\circ$$ получаем, что треугольник $$KOH$$ равнобедренный, следовательно

$$OH=KO=1{,}5\text{ см}.$$

В ромбе расстояние от центра до стороны равно половине высоты ромба. Поэтому высота ромба равна

$$2OH=3\text{ см}.$$

Площадь основания:

$$S_{ABCD}=a\cdot h=6\cdot 3=18\text{ см}^2.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac13 S_{ABCD}\cdot KO=\frac13\cdot 18\cdot 1{,}5=9\text{ см}^3.$$

Ответ: $$9\text{ см}^3$$.