Упр.486 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в пирамиду можно вписать шар, то объем $$V$$ пирамиды можно вычислить по формуле $$V=\frac{1}{3}Sr$$, где $$S$$ — площадь полной поверхности пирамиды, а $$r$$ — радиус вписанного в пирамиду шара.

Пусть в пирамиду вписан шар радиуса $$r$$, а $$S$$ — площадь полной поверхности пирамиды.

Обозначим через $$O$$ центр вписанного шара. Тогда расстояние от точки $$O$$ до каждой грани пирамиды равно $$r$$.

Разобьём пирамиду на несколько пирамид с вершиной в точке $$O$$ и основаниями, совпадающими с гранями данной пирамиды. Тогда высота каждой из этих пирамид равна $$r$$, а их основаниями служат все грани пирамиды.

По формуле объёма пирамиды имеем для каждой такой части:

$$V_i=\frac{1}{3}S_i r,$$

где $$S_i$$ — площадь соответствующей грани.

Складывая объёмы всех полученных пирамид, получаем объём исходной пирамиды:

$$V=\sum \frac{1}{3}S_i r=\frac{1}{3}r\sum S_i.$$

Но сумма площадей всех граней пирамиды равна площади её полной поверхности:

$$\sum S_i=S.$$

Следовательно,

$$V=\frac{1}{3}Sr.$$

Ответ

$$V=\frac{1}{3}Sr$$