Упр.485 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами $$a$$ и $$b$$. Каждое её боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$\varphi$$. Найдите объём пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$DH$$ — высота пирамиды, где $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины $$D$$ на плоскость основания $$ABC$$.

Так как каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$\varphi$$, то

$$\angle DBA=\angle DCA=\angle DAC=\varphi.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$DHB$$, $$DHC$$ и $$DHA$$. У них общий катет $$DH$$ и равные острые углы $$\varphi$$, значит,

$$BH=CH=AH.$$

Следовательно, точка $$H$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$, то есть является центром описанной окружности треугольника $$ABC$$. Так как $$\angle BAC=90^\circ$$, то центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы $$BC$$, а значит,

$$BH=\frac{BC}{2}.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Тогда

$$BH=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DBH$$

$$\tg\varphi=\frac{DH}{BH},$$

откуда

$$DH=BH\cdot\tg\varphi=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\tg\varphi.$$

Площадь основания пирамиды:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}ab.$$

Тогда объём пирамиды равен