Упр.484 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основание пирамиды — равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=BC=13$$ см, $$AC=10$$ см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол $$30^\circ$$. Вычислите объём пирамиды.
Пусть $$O$$ — основание высоты пирамиды, тогда $$DO \perp (ABC)$$. По условию каждое боковое ребро образует с высотой угол $$30^\circ$$, значит
$$\angle ODA=\angle ODB=\angle ODC=30^\circ.$$
Треугольники $$DOA$$, $$DOB$$ и $$DOC$$ прямоугольные и имеют равные острые углы, поэтому
$$OA=OB=OC.$$
Следовательно, точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$, а значит $$OA=R$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности.
Найдём сначала площадь основания $$\triangle ABC$$. Так как $$AB=BC=13$$, а $$AC=10$$, то высота $$BH$$, проведённая к основанию $$AC$$, делит его пополам:
$$AH=HC=5.$$
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12.$$
Тогда
$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH=\frac12\cdot 10\cdot 12=60.$$
Теперь найдём радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$. В треугольнике $$ABH$$
$$\sin \angle CAB=\frac{BH}{AB}=\frac{12}{13}.$$
По формуле для стороны через радиус описанной окружности:
$$BC=2R\sin \angle CAB,$$
откуда
$$R=\frac{BC}{2\sin \angle CAB}=\frac{13}{2\cdot \frac{12}{13}}=\frac{169}{24}.$$
В прямоугольном треугольнике $$DOA$$
$$\tan 30^\circ=\frac{OA}{DO},$$
поэтому
$$DO=OA\sqrt{3}=R\sqrt{3}=\frac{169\sqrt{3}}{24}.$$
Объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot DO=\frac13\cdot 60\cdot \frac{169\sqrt{3}}{24}=\frac{845\sqrt{3}}{6}.$$
Ответ
$$\frac{845\sqrt{3}}{6}\ \text{см}^3$$
