Упр.483 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — вершина пирамиды, $$O$$ — центр основания, $$A$$ — вершина правильного шестиугольника основания. Тогда $$KO$$ — высота пирамиды, $$KA=13$$ см, а диаметр вписанной в основание окружности равен $$6$$ см, значит её радиус $$r=3$$ см.

Для правильного шестиугольника $$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где $$a$$ — сторона основания. Тогда

$$ a=\frac{2r}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{ см}. $$

Площадь основания правильного шестиугольника:

$$ S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}Pr=\frac{1}{2}\cdot 6a \cdot r =\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3 =18\sqrt{3}\text{ см}^2. $$

Найдём высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике $$KAO$$ имеем $$AO=R$$ — радиус описанной окружности правильного шестиугольника, а для него $$R=a=2\sqrt{3}$$ см. Тогда

$$ KO=\sqrt{KA^2-AO^2} =\sqrt{13^2-(2\sqrt{3})^2} =\sqrt{169-12} =\sqrt{157}\text{ см}. $$

Теперь объём пирамиды:

$$ V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot KO =\frac{1}{3}\cdot 18\sqrt{3}\cdot \sqrt{157} =6\sqrt{471}\text{ см}^3. $$

Найдём площадь боковой поверхности. Она состоит из 6 равных боковых граней. Каждая грань — равнобедренный треугольник со сторонами $$13,13,2\sqrt{3}$$. Его высота к основанию равна

$$ h_{\text{бок}}=\sqrt{13^2-\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)^2} =\sqrt{169-3} =\sqrt{166}. $$

Площадь одной боковой грани:

$$ S_1=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{166} =\sqrt{498}\text{ см}^2. $$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды:

$$ S_{\text{бок}}=6S_1=6\sqrt{498}\text{ см}^2. $$