Упр.483 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно $$13\ \text{см}$$, а диаметр круга, вписанного в основание, равен $$6\ \text{см}$$.
Пусть основание пирамиды — правильный шестиугольник со стороной $$a$$, а его центр — точка $$O$$. Тогда диаметр вписанной в основание окружности равен $$6$$ см, значит радиус этой окружности
$$r=3\text{ см}.$$
Для правильного шестиугольника $$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$, поэтому
$$a=\dfrac{2r}{\sqrt{3}}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{ см}.$$
Площадь основания:
$$S_{\text{осн}}=\frac12Pr=\frac12\cdot 6a\cdot r=\frac12\cdot 6\cdot 2\sqrt{3}\cdot 3=18\sqrt{3}\text{ см}^2.$$
Найдём высоту пирамиды. В правильной пирамиде вершина $$K$$ проектируется в центр основания $$O$$, поэтому в прямоугольном треугольнике $$KAO$$:
$$AO=R=a=2\sqrt{3}\text{ см},$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности правильного шестиугольника. Тогда
$$KO=\sqrt{KA^2-AO^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{169-12}=\sqrt{157}\text{ см}.$$
Теперь объём пирамиды:
$$V=\frac13S_{\text{осн}}\cdot KO=\frac13\cdot 18\sqrt{3}\cdot \sqrt{157}=6\sqrt{471}\text{ см}^3.$$
Найдём площадь боковой поверхности. Она состоит из 6 равных боковых треугольников. Для одного из них, например $$\triangle KAB$$, имеем $$KA=KB=13$$, $$AB=2\sqrt{3}$$. Высота этого треугольника к стороне $$AB$$ равна
$$h_{\text{бок}}=\sqrt{13^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2}=\sqrt{169-3}=\sqrt{166}.$$
Тогда площадь одного бокового треугольника:
$$S_{1}=\frac12\cdot AB\cdot h_{\text{бок}}=\frac12\cdot 2\sqrt{3}\cdot \sqrt{166}=\sqrt{498}\text{ см}^2.$$
Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды:
$$S_{\text{бок}}=6S_{1}=6\sqrt{498}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$V=6\sqrt{471}\text{ см}^3,\quad S_{\text{бок}}=6\sqrt{498}\text{ см}^2.$$
