Упр.481 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если: а) ее высота равна $$H$$, а двугранный угол при основании равен $$P$$; б) сторона основания равна $$m$$, а плоский угол при вершине равен $$a$$.
Обозначим через $$O$$ центр основания правильной четырёхугольной пирамиды, а через $$S$$ её вершину. Тогда $$SO$$ — высота пирамиды, а основание — квадрат.
а)
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $$S$$, центр основания $$O$$ и середину $$E$$ стороны основания. В этом сечении $$OE \perp BC$$, а двугранный угол при основании равен $$\beta=\angle SEO$$.
В прямоугольном треугольнике $$SEO$$:
$$\tg \beta=\frac{SO}{OE}=\frac{H}{OE}, \qquad OE=\frac{H}{\tg \beta}.$$
Так как $$O$$ — центр квадрата, то $$OE=\dfrac{a}{2}$$, где $$a$$ — сторона основания. Значит,
$$a=2OE=\frac{2H}{\tg \beta}.$$
Тогда площадь основания равна
$$S_{\text{осн}}=a^2=\left(\frac{2H}{\tg \beta}\right)^2=\frac{4H^2}{\tg^2 \beta}.$$
Объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}\cdot H=\frac13 \cdot \frac{4H^2}{\tg^2 \beta}\cdot H=\frac{4H^3}{3\tg^2 \beta}.$$
б)
Пусть сторона основания равна $$m$$, а плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. Рассмотрим боковую грань, например $$\triangle SBC$$. Она равнобедренная, так как $$SB=SC$$.
Пусть $$E$$ — середина стороны $$BC$$. Тогда $$SE$$ — высота, медиана и биссектриса треугольника $$SBC$$. Поэтому в прямоугольном треугольнике $$SBE$$:
$$BE=\frac{m}{2}, \qquad \angle BSE=\frac{\alpha}{2},$$
и
$$\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{BE}{SE}=\frac{m/2}{SE}.$$
Отсюда
$$SE=\frac{m}{2\tg \frac{\alpha}{2}}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOE$$. Так как $$O$$ — центр квадрата, то
$$OE=\frac{m}{2}.$$
Следовательно,
$$SO=\sqrt{SE^2-OE^2}=\sqrt{\frac{m^2}{4\tg^2 \frac{\alpha}{2}}-\frac{m^2}{4}}.$$
Преобразуем:
$$SO=\frac{m}{2}\sqrt{\frac{1-\tg^2 \frac{\alpha}{2}}{\tg^2 \frac{\alpha}{2}}} =\frac{m}{2}\sqrt{\frac{\cos \alpha}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}} =\frac{m\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Площадь основания равна $$m^2$$, значит
$$V=\frac13 m^2 \cdot SO=\frac13 m^2 \cdot \frac{m\sqrt{\cos \alpha}}{2\sin \frac{\alpha}{2}}=\frac{m^3\sqrt{\cos \alpha}}{6\sin \frac{\alpha}{2}}.$$
Ответ
а) $$V=\frac{4H^3}{3\tg^2 \beta}$$; б) $$V=\frac{m^3\sqrt{\cos \alpha}}{6\sin \frac{\alpha}{2}}$$.
