Упр.481 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если: а) ее высота равна H, а двугранный угол при основании равен P; б) сторона основания равна m, а плоский угол при вершине равен а.
Обозначим вершину пирамиды через $$S$$, центр основания — через $$O$$. Так как пирамида правильная, то $$SO \perp ABCD$$, а основание $$ABCD$$ — квадрат.
Объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO.$$
а) Пусть $$H=SO$$, а двугранный угол при основании равен $$\beta$$. Рассмотрим сечение плоскостью, перпендикулярной ребру основания и проходящей через вершину $$S$$ и середину стороны основания. Тогда в прямоугольном треугольнике получаем
$$\tg\beta=\frac{SO}{OE}=\frac{H}{OE}, \qquad OE=\frac{H}{\tg\beta}.$$
Так как $$O$$ — центр квадрата, то расстояние от центра до стороны равно половине стороны основания:
$$AB=2OE=\frac{2H}{\tg\beta}.$$
Следовательно,
$$S_{ABCD}=AB^2=\left(\frac{2H}{\tg\beta}\right)^2=\frac{4H^2}{\tg^2\beta}.$$
Тогда
$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{4H^2}{\tg^2\beta}\cdot H=\frac{4H^3}{3\tg^2\beta}.$$
б) Пусть сторона основания равна $$m$$, а плоский угол при вершине равен $$\alpha$$. В боковой грани получаем равнобедренный треугольник, поэтому высота этой грани делит угол $$\alpha$$ пополам. Обозначим через $$E$$ середину стороны основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $$SCE$$:
$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{CE}{SE}=\frac{m/2}{SE},$$
откуда
$$SE=\frac{m}{2\tg\frac{\alpha}{2}}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SOE$$:
$$SO^2=SE^2-OE^2.$$
Так как $$OE=\frac{m}{2}$$, то
$$SO=\sqrt{\left(\frac{m}{2\tg\frac{\alpha}{2}}\right)^2-\left(\frac{m}{2}\right)^2}.$$
Преобразуем:
$$ SO=\frac{m}{2}\sqrt{\frac{1}{\tg^2\frac{\alpha}{2}}-1} =\frac{m}{2}\sqrt{\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}} =\frac{m}{2}\cdot \frac{\sqrt{\cos\alpha}}{\sin\frac{\alpha}{2}}. $$
Площадь основания равна $$S_{ABCD}=m^2$$, значит
$$V=\frac{1}{3}m^2\cdot \frac{m}{2}\cdot \frac{\sqrt{\cos\alpha}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin\frac{\alpha}{2}}.$$
Ответ
а) $$V=\frac{4H^3}{3\tg^2\beta}$$;
б) $$V=\frac{m^3\sqrt{\cos\alpha}}{6\sin\frac{\alpha}{2}}$$.