Упр.480 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен $$\varphi$$, а сторона основания равна $$a$$. Найдите объем пирамиды.
Обозначим вершину пирамиды через $$D$$, а основание — равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$a$$. Пусть $$O$$ — центр основания, тогда $$DO \perp (ABC)$$.
Объём пирамиды:
$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot DO.$$
Найдём высоту $$DO$$.
В равнобедренном треугольнике $$ADB$$ плоский угол при вершине равен $$\varphi$$, значит высота из $$D$$ к основанию $$AB$$ делит угол пополам. Тогда
$$\frac a2=AD\sin\frac{\varphi}{2},$$
откуда
$$AD=\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}}.$$
Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то его радиус описанной окружности
$$AO=\frac{a}{\sqrt3}.$$
Из прямоугольного треугольника $$ADO$$ по теореме Пифагора:
$$DO=\sqrt{AD^2-AO^2} =\sqrt{\left(\frac{a}{2\sin\frac{\varphi}{2}}\right)^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2} =a\sqrt{\frac{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}{12\sin^2\frac{\varphi}{2}}}.$$
Площадь основания равностороннего треугольника:
$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2.$$
Тогда
$$V=\frac13\cdot \frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot a\sqrt{\frac{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}{12\sin^2\frac{\varphi}{2}}} =\frac{a^3}{24\sin\frac{\varphi}{2}}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}.$$
Ответ: $$V=\frac{a^3}{24\sin\frac{\varphi}{2}}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\varphi}{2}}.$$
