Упр.479 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 1, если:
а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$;
б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол $$\alpha$$;
в) плоский угол при вершине равен $$\rho$$.

Подробный ответ

Обозначим боковое ребро пирамиды через $$l=1.$$ Для правильной треугольной пирамиды вершина проектируется в центр $$O$$ равностороннего основания $$ABC,$$ а объём равен

$$V=\frac13 S_{ABC}\cdot SO.$$

а) Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$l$$ имеем

$$SO=l\sin\varphi=\sin\varphi.$$

Проекция бокового ребра на основание равна

$$AO=l\cos\varphi=\cos\varphi.$$

Так как $$O$$ — центр равностороннего треугольника, то его радиус описанной окружности

$$R=AO=\cos\varphi.$$

Для равностороннего треугольника $$R=\frac{a}{\sqrt3},$$ значит

$$a=\sqrt3\cos\varphi.$$

Тогда площадь основания

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 3\cos^2\varphi=\frac{3\sqrt3}{4}\cos^2\varphi.$$

Следовательно,

$$V=\frac13\cdot \frac{3\sqrt3}{4}\cos^2\varphi\cdot \sin\varphi=\frac{\sqrt3}{4}\cos^2\varphi\sin\varphi.$$

б) Боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол $$\alpha$$

Рассмотрим треугольник $$DAC.$$ Он равнобедренный, так как $$DA=DC=l=1.$$ Высота $$DO$$ к основанию $$AC$$ является также медианой, поэтому

$$AO=\frac12 AC.$$

В прямоугольном треугольнике $$DAO$$

$$\cos\alpha=\frac{AO}{DA}=\frac{AO}{1},$$

откуда

$$AO=\cos\alpha,\qquad AC=2\cos\alpha.$$

Тогда сторона равностороннего основания равна $$a=AC=2\cos\alpha,$$ и

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 4\cos^2\alpha=\sqrt3\cos^2\alpha.$$

Найдём высоту пирамиды. Для равностороннего треугольника

$$R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{2\cos\alpha}{\sqrt3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DOC$$

$$SO=\sqrt{DC^2-CO^2}=\sqrt{1-\left(\frac{2\cos\alpha}{\sqrt3}\right)^2}=\sqrt{\frac{3-4\cos^2\alpha}{3}}.$$

Тогда

$$V=\frac13\cdot \sqrt3\cos^2\alpha\cdot \sqrt{\frac{3-4\cos^2\alpha}{3}}=\frac13\cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}.$$

в) Плоский угол при вершине равен $$\beta$$

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды — это угол между двумя боковыми рёбрами, например $$\angle ADC=\beta.$$ В равнобедренном треугольнике $$ADC$$ высота $$DO$$ делит угол пополам, поэтому

$$\angle ADO=\frac{\beta}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DAO$$

$$AO=\sin\frac{\beta}{2}.$$

Но $$AO=\frac{a}{\sqrt3},$$ значит

$$a=\sqrt3\sin\frac{\beta}{2}.$$

Тогда

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 3\sin^2\frac{\beta}{2}=\frac{3\sqrt3}{4}\sin^2\frac{\beta}{2}.$$

Кроме того,

$$SO=\sqrt{1-AO^2}=\sqrt{1-\sin^2\frac{\beta}{2}}=\cos\frac{\beta}{2}.$$

Следовательно,

$$V=\frac13\cdot \frac{3\sqrt3}{4}\sin^2\frac{\beta}{2}\cdot \cos\frac{\beta}{2}=\frac{\sqrt3}{4}\sin^2\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}.$$