Упр.479 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром 1, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ф; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол а; в) плоский угол при вершине равен р.
Обозначим боковое ребро пирамиды через $$l=1$$. Для правильной треугольной пирамиды
$$V=\frac13 S_{\text{осн}} \cdot h,$$
где $$S_{\text{осн}}$$ — площадь основания, $$h$$ — высота пирамиды.
а) Пусть боковое ребро составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$.
Тогда в прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, его проекцией на основание и высотой пирамиды, имеем
$$h=l\sin\varphi=\sin\varphi.$$
Проекция бокового ребра на основание равна
$$R=l\cos\varphi=\cos\varphi,$$
где $$R$$ — радиус описанной окружности основания. Для равностороннего треугольника
$$R=\frac{a}{\sqrt3}, \qquad S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}a^2,$$
поэтому
$$a=\sqrt3\,R=\sqrt3\cos\varphi,$$
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 3\cos^2\varphi=\frac{3\sqrt3}{4}\cos^2\varphi.$$
Тогда
$$V=\frac13 \cdot \frac{3\sqrt3}{4}\cos^2\varphi \cdot \sin\varphi =\frac{\sqrt3}{4}\cos^2\varphi\sin\varphi.$$
б) Пусть боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол $$\alpha$$.
Рассмотрим боковую грань. Она — равнобедренный треугольник со сторонами $$l$$ и $$l$$, а угол между боковым ребром и стороной основания равен $$\alpha$$. Тогда по теореме косинусов для стороны основания:
$$a^2=l^2+l^2-2l^2\cos(180^\circ-2\alpha)=2-2(-\cos2\alpha)=4\cos^2\alpha,$$
значит
$$a=2\cos\alpha.$$
Следовательно, площадь основания
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{\sqrt3}{4}\cdot 4\cos^2\alpha=\sqrt3\cos^2\alpha.$$
Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности
$$R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{2\cos\alpha}{\sqrt3}.$$
Тогда высота пирамиды
$$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{1-\frac{4\cos^2\alpha}{3}}=\frac{1}{\sqrt3}\sqrt{3-4\cos^2\alpha}.$$
Итак,
$$V=\frac13 \cdot \sqrt3\cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\sqrt3}\sqrt{3-4\cos^2\alpha} =\frac13 \cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}.$$
в) Пусть плоский угол при вершине равен $$\beta$$.
В боковой грани угол при вершине равен $$\beta$$, значит в равнобедренном треугольнике
$$\alpha=\frac{180^\circ-\beta}{2},$$
и потому
$$\cos\alpha=\sin\frac{\beta}{2}.$$
Подставляя это в формулу из пункта б), получаем
$$V=\frac13 \sin^2\frac{\beta}{2}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\beta}{2}}.$$
Ответ
$$\text{а) }V=\frac{\sqrt3}{4}\cos^2\varphi\sin\varphi$$
$$\text{б) }V=\frac13 \cos^2\alpha\sqrt{3-4\cos^2\alpha}$$
$$\text{в) }V=\frac13 \sin^2\frac{\beta}{2}\sqrt{3-4\sin^2\frac{\beta}{2}}$$