Упр.476 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны $$37\ \text{см}$$, $$13\ \text{см}$$ и $$30\ \text{см}$$, а площадь боковой поверхности равна $$480\ \text{см}^2$$.

Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на длину бокового ребра:

$$V=S_{\text{сеч}} \cdot l.$$

Перпендикулярное сечение — треугольник со сторонами $$37\text{ см},\ 13\text{ см},\ 30\text{ см}.$$ Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{37+13+30}{2}=40,$$

$$S_{\text{сеч}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{40\cdot(40-37)\cdot(40-13)\cdot(40-30)}.$$

$$S_{\text{сеч}}=\sqrt{40\cdot 3\cdot 27\cdot 10}=\sqrt{32400}=180\text{ см}^2.$$

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра этого сечения на длину бокового ребра:

$$S_{\text{бок}}=(37+13+30)\cdot l.$$

Тогда

$$480=80\cdot l,$$

$$l=\frac{480}{80}=6\text{ см}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=180\cdot 6=1080\text{ см}^3.$$

Ответ: $$1080\text{ см}^3.$$