Упр.474 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Bce грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.

Подробный ответ

Площадь основания параллелепипеда — ромба со диагоналями $$6\text{ см}$$ и $$8\text{ см}$$:

$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24\text{ см}^2.$$

Найдём сторону ромба. Для ромба

$$a=\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}.$$

Пусть $$h$$ — высота параллелепипеда. Тогда

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=24h.$$

Чтобы найти $$h$$, рассмотрим проекцию бокового ребра на основание. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов, поэтому проекция бокового ребра на диагональ равна половине соответствующей диагонали. Тогда для проекции получаем:

$$\cos\frac{\angle A}{2}=\frac{4}{5}, \qquad \sin\frac{\angle A}{2}=\frac{3}{5}.$$

Из условия для бокового ребра длиной $$5\text{ см}$$ его проекция на основание равна

$$BO=5\cdot \frac{3}{5}=3\text{ см}.$$

Тогда высота параллелепипеда:

$$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4\text{ см}.$$

Следовательно,

$$V=24\cdot 4=96\text{ см}^3.$$