Упр.474 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны $$6\ \text{см}$$ и $$8\ \text{см}$$. Найдите объём параллелепипеда.
Площадь основания ромба найдём по диагоналям:
$$S_{осн}=\frac12 d_1d_2=\frac12\cdot 6\cdot 8=24\text{ см}^2.$$
Сторона ромба равна
$$a=\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2+\left(\frac{8}{2}\right)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ см}.$$
Пусть $$h$$ — высота параллелепипеда. Тогда объём равен
$$V=S_{осн}\cdot h=24h.$$
Найдём $$h$$. В ромбе диагонали являются биссектрисами углов, поэтому проекция бокового ребра на основание выражается через половину диагонали. Из прямоугольного треугольника получаем
$$\cos\frac{\angle A}{2}=\frac{4}{5},\qquad \sin\frac{\angle A}{2}=\frac{3}{5}.$$
Тогда для проекции бокового ребра на диагональ основания имеем
$$BO=\frac{7}{4}\text{ см},$$
а из прямоугольного треугольника с боковым ребром $$BB_1=5$$:
$$h=\sqrt{BB_1^2-BO^2}=\sqrt{5^2-\left(\frac74\right)^2}=\sqrt{\frac{351}{16}}=\frac{3\sqrt{39}}{4}\text{ см}.$$
Следовательно,
$$V=24\cdot \frac{3\sqrt{39}}{4}=18\sqrt{39}\text{ см}^3.$$
Ответ: $$18\sqrt{39}\text{ см}^3$$.
