Упр.473 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами $$a$$ и $$b$$. Боковое ребро длины $$c$$ составляет со смежными сторонами основания углы, равные $$\varphi$$. Найдите объём параллелепипеда.
Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — наклонный параллелепипед, $$ABCD$$ — прямоугольник, $$AB=a,$$ $$AD=b,$$ $$AA_1=c,$$ а угол между боковым ребром и каждой из смежных сторон основания равен $$\varphi.$$
Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
$$V=S_{ABCD}\cdot A_1H=ab\cdot A_1H,$$
где $$A_1H$$ — высота параллелепипеда.
Проведём в плоскости основания через точку $$A$$ прямые $$AE\perp AB$$ и $$AF\perp AD.$$ Тогда из прямоугольных треугольников получаем:
$$AE=AA_1\cos\varphi=c\cos\varphi,$$
$$AF=AA_1\cos\varphi=c\cos\varphi.$$
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то угол $$\angle DAB=90^\circ,$$ а значит, биссектриса этого угла образует с каждой стороной угол $$45^\circ.$$ Из равенства соответствующих прямоугольных треугольников следует, что
$$AH=\sqrt{2}\,AE=\sqrt{2}\,c\cos\varphi.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1H$$:
$$A_1H=\sqrt{AA_1^2-AH^2}=\sqrt{c^2-2c^2\cos^2\varphi}.$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$A_1H=c\sqrt{1-2\cos^2\varphi} =c\sqrt{-\cos 2\varphi}.$$
Следовательно,
$$V=ab\cdot c\sqrt{-\cos 2\varphi}.$$
Ответ: $$V=abc\sqrt{-\cos 2\varphi}.$$
