Упр.472 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Основанием наклонной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является прямоугольный треугольник $$ABC$$ с катетами $$AB=7\text{ см}$$ и $$AC=24\text{ см}$$. Вершина $$A_1$$ равноудалена от вершин $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Найдите объём призмы, если ребро $$AA_1$$ составляет с плоскостью основания угол в $$45^\circ$$.

Подробный ответ

Так как $$A_1B=A_1C=A_1A,$$ то точка $$A_1$$ равноудалена от вершин треугольника $$ABC$$. Следовательно, её проекция на плоскость основания лежит в центре описанной окружности треугольника $$ABC$$. Обозначим эту точку через $$O$$.

Тогда $$OA=OB=OC$$, а треугольник $$OA A_1$$ прямоугольный, причём $$\angle(AA_1,ABC)=45^\circ$$. Значит, в треугольнике $$OA A_1$$ угол между $$AA_1$$ и его проекцией $$AO$$ равен $$45^\circ$$, поэтому треугольник $$OA A_1$$ равнобедренный и

$$OA_1=OA.$$

Найдём $$OA$$. Сначала вычислим гипотенузу прямоугольного треугольника $$ABC$$:

$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.$$

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, значит

$$OA=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5\text{ см}.$$

Тогда высота призмы равна

$$h=OA_1=12{,}5\text{ см}.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 24=84\text{ см}^2.$$

Теперь найдём объём призмы:

$$V=S_{ABC}\cdot h=84\cdot 12{,}5=1050\text{ см}^3.$$