Упр.471 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основанием призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является равносторонний треугольник $$ABC$$ со стороной $$m$$. Вершина $$A_1$$ проектируется в центр этого основания, а ребро $$AA_1$$ составляет с плоскостью основания угол $$\varphi$$. Найдите объём призмы.

Пусть $$ABC$$ — основание призмы, $$AB=BC=CA=m$$. Обозначим через $$O$$ центр равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда $$A_1O$$ — высота призмы, а угол между ребром $$AA_1$$ и плоскостью основания равен $$\varphi$$.

В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, поэтому если $$H$$ — основание высоты из вершины $$A$$, то $$O$$ делит медиану в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Значит,

$$AO=\frac{2}{3}\cdot AH=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}m=\frac{m}{\sqrt{3}}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1O$$. По определению тангенса угла

$$\tan\varphi=\frac{A_1O}{AO},$$

откуда

$$A_1O=AO\cdot \tan\varphi=\frac{m}{\sqrt{3}}\tan\varphi.$$

Площадь основания призмы:

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2.$$

Тогда объём призмы равен

$$V=S_{ABC}\cdot A_1O=\frac{\sqrt{3}}{4}m^2\cdot \frac{m}{\sqrt{3}}\tan\varphi=\frac{m^3}{4}\tan\varphi.$$

Ответ: $$V=\frac{m^3}{4}\tan\varphi$$.