Упр.470 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите объём наклонной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$, если $$AB=BC=CA=a$$, $$ABB_1A_1$$ — ромб, $$AB_1

Подробный ответ

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$B_1$$ на плоскость $$ABC$$. Тогда высота призмы равна $$B_1H$$, а

$$V=S_{ABC}\cdot B_1H.$$

Так как $$AB=BC=CA=a$$, треугольник $$ABC$$ равносторонний, поэтому

$$S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.$$

Рассмотрим треугольник $$ABB_1$$. По условию $$ABB_1A_1$$ — ромб, значит

$$AB=BB_1=a,\qquad AB_1=b.$$

Пусть $$B_1H=h$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$ABH$$ и $$AB_1H$$ имеем

$$AH=\sqrt{a^2-h^2},\qquad B_1H=h,\qquad HB=\sqrt{b^2-h^2}.$$

Так как двугранный угол с ребром $$AB$$ прямой, то плоскость $$ABB_1A_1$$ перпендикулярна плоскости $$ABC$$, и отрезки $$AH$$ и $$HB$$ лежат в одной прямой. Следовательно,

$$AH+HB=AB=a,$$

то есть

$$\sqrt{a^2-h^2}+\sqrt{b^2-h^2}=a.$$

Возведём в квадрат:

$$a^2-h^2+b^2-h^2+2\sqrt{(a^2-h^2)(b^2-h^2)}=a^2,$$

$$b^2-2h^2+2\sqrt{(a^2-h^2)(b^2-h^2)}=0.$$

Отсюда

$$\sqrt{(a^2-h^2)(b^2-h^2)}=h^2-\frac{b^2}{2}.$$

После возведения в квадрат получаем

$$h^2=\frac{b^2(4a^2-b^2)}{4a^2},$$

значит

$$h=\frac{b}{2a}\sqrt{4a^2-b^2}.$$