Упр.47 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В пространственном четырёхугольнике $$ABCD$$ стороны $$AB$$ и $$CD$$ равны. Докажите, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков $$BC$$ и $$AD$$.
Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$BC$$, а через $$N$$ — середину отрезка $$AD$$. Проведём прямую $$MN$$.
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$.
Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Аналогично, $$N$$ — середина $$AD$$, значит $$CN$$ — медиана треугольника $$ADC$$.
Проведём через точки $$M$$ и $$N$$ прямые, параллельные соответственно $$AB$$ и $$CD$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ прямая, проходящая через середину стороны $$BC$$ и параллельная $$AB$$, пересекает сторону $$AC$$ в её середине; аналогично, в треугольнике $$ADC$$ прямая, проходящая через середину стороны $$AD$$ и параллельная $$CD$$, также проходит через середину $$AC$$. Следовательно, эти построенные прямые совпадают, а значит, $$AB$$ и $$CD$$ лежат в одной плоскости с прямой $$MN$$.
Теперь рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$DCN$$. По условию $$AB=CD$$, а также $$BM=CN$$, так как $$M$$ и $$N$$ — середины равных отрезков $$BC$$ и $$AD$$? Нет, это не следует. Поэтому поступим иначе.
Пусть $$E$$ — середина отрезка $$AC$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$ME$$ соединяет середины сторон $$BC$$ и $$AC$$, значит $$ME \parallel AB$$ и $$ME=\dfrac{AB}{2}$$. В треугольнике $$ADC$$ отрезок $$NE$$ соединяет середины сторон $$AD$$ и $$AC$$, значит $$NE \parallel CD$$ и $$NE=\dfrac{CD}{2}$$.
Так как $$AB=CD$$, то
$$ME=NE.$$
Кроме того, $$ME \parallel AB$$ и $$NE \parallel CD$$, а значит, углы между прямой $$MN$$ и прямыми $$AB$$, $$CD$$ равны углам между $$MN$$ и прямыми $$ME$$, $$NE$$ соответственно. Но в треугольниках $$MNE$$ и $$NEM$$ стороны $$ME$$ и $$NE$$ равны, следовательно, соответствующие углы при основании равны:
$$\angle EMN=\angle MNE.$$
Значит, прямая $$MN$$ образует с прямыми $$AB$$ и $$CD$$ равные углы.
Что и требовалось доказать.
