Упр.468 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Фигура, заштрихованная на рисунке 191, вращается вокруг оси $$Oy$$. Найдите объем полученного тела.

При вращении заштрихованной фигуры вокруг оси $$Oy$$ удобно рассмотреть симметричную ей фигуру относительно прямой $$y=x$$. Тогда вместо графика $$y=\sqrt{x}$$ получаем график обратной функции $$y=x^2$$.

Объём тела вращения найдём по формуле:

$$V=\int\limits_{0}^{1} S(x)\,dx,$$

где площадь поперечного сечения равна площади круга радиуса $$x^2$$:

$$S(x)=\pi (x^2)^2=\pi x^4.$$

Тогда

$$V=\int\limits_{0}^{1}\pi x^4\,dx =\pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{\pi}{5}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{5}$$.