Упр.467 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Фигура, заштрихованная на рисунке 190, вращается вокруг оси Ox. Найдите объем полученного тела.

При вращении вокруг оси $$Ox$$ сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси $$Ox$$, в точке с абсциссой $$x$$ имеет площадь

$$S(x)=\pi y^2=\pi(\sqrt{x})^2=\pi x.$$

Тогда объём тела вращения на отрезке $$[0;1]$$ равен

$$ V=\int_0^1 S(x)\,dx=\int_0^1 \pi x\,dx=\pi\int_0^1 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\pi\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}. $$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$