Упр.467 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Фигура, заштрихованная на рисунке 190, вращается вокруг оси $$Ox$$. Найдите объём полученного тела.

Объём тела вращения найдём по формуле:

$$V=\int_a^b S(x)\,dx,$$

где $$S(x)=\pi y^2$$ — площадь поперечного сечения, а при вращении графика $$y=\sqrt{x}$$ вокруг оси $$Ox$$ имеем

$$S(x)=\pi(\sqrt{x})^2=\pi x.$$

Тогда

$$V=\int_0^1 \pi x\,dx=\pi\int_0^1 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\pi\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{2}$$.