Упр.465 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом $$a$$ и прилежащим к нему углом $$\alpha$$. Найдите объём цилиндра, если высота призмы равна $$h$$.

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

$$V=\pi r^2h.$$

Основание призмы — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Значит, гипотенуза этого треугольника равна диаметру окружности:

$$d=2r.$$

Если катет равен $$a$$ и прилежащий к нему угол равен $$\alpha,$$ то

$$\cos\alpha=\frac{a}{d},$$

откуда

$$d=\frac{a}{\cos\alpha}, \qquad r=\frac{a}{2\cos\alpha}.$$

Подставим это в формулу объёма:

$$V=\pi r^2h =\pi\left(\frac{a}{2\cos\alpha}\right)^2h =\frac{\pi a^2h}{4\cos^2\alpha}.$$

Ответ: $$\frac{\pi a^2h}{4\cos^2\alpha}$$.