Упр.464 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В цилиндр вписана правильная $$n$$-угольная призма. Найдите отношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) $$n=3$$; б) $$n=4$$; в) $$n=6$$; г) $$n=8$$; д) $$n$$ — произвольное целое число.
Обозначим высоту призмы и цилиндра через $$h$$, а радиус основания цилиндра — через $$R$$. Тогда
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{S_{\text{призмы}}\cdot h}{S_{\text{цилиндра}}\cdot h}=\frac{S_{\text{призмы}}}{S_{\text{цилиндра}}}.$$
Основание призмы — правильный $$n$$-угольник, вписанный в окружность радиуса $$R$$. Его площадь равна
$$S_{\text{призмы}}=\frac12 R^2 n\sin\frac{360^\circ}{n}.$$
Площадь основания цилиндра:
$$S_{\text{цилиндра}}=\pi R^2.$$
Следовательно,
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{\frac12 R^2 n\sin\frac{360^\circ}{n}}{\pi R^2}=\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}.$$
Теперь подставим значения $$n$$.
а) $$n=3$$:
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{3\sin120^\circ}{2\pi}=\frac{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\pi}=\frac{3\sqrt3}{4\pi}.$$
б) $$n=4$$:
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{4\sin90^\circ}{2\pi}=\frac{4}{2\pi}=\frac{2}{\pi}.$$
в) $$n=6$$:
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{6\sin60^\circ}{2\pi}=\frac{6\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{2\pi}=\frac{3\sqrt3}{2\pi}.$$
г) $$n=8$$:
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{8\sin45^\circ}{2\pi}=\frac{8\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{2\pi}=\frac{2\sqrt2}{\pi}.$$
д) для произвольного целого $$n$$:
$$\frac{V_{\text{призмы}}}{V_{\text{цилиндра}}}=\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}.$$
Ответ: а) $$\frac{3\sqrt3}{4\pi}$$; б) $$\frac{2}{\pi}$$; в) $$\frac{3\sqrt3}{2\pi}$$; г) $$\frac{2\sqrt2}{\pi}$$; д) $$\frac{n\sin\frac{360^\circ}{n}}{2\pi}$$.
