Упр.462 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объем цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, его стороны равны $$h$$ и $$d$$, где $$h$$ — высота цилиндра, $$d$$ — диаметр основания. Поэтому

$$S=dh.$$

Площадь основания цилиндра равна

$$Q=\pi r^2=\pi\left(\frac d2\right)^2=\frac{\pi d^2}{4}.$$

Из формулы $$S=dh$$ получаем

$$d=\frac{S}{h}.$$

Подставим это в выражение для $$Q$$:

$$Q=\frac{\pi}{4}\left(\frac{S}{h}\right)^2=\frac{\pi S^2}{4h^2}.$$

Отсюда

$$h^2=\frac{\pi S^2}{4Q}, \qquad h=\frac{S\sqrt{\pi}}{2\sqrt{Q}}.$$

Теперь найдём объём цилиндра:

$$V=Qh=Q\cdot \frac{S\sqrt{\pi}}{2\sqrt{Q}}=\frac{S\sqrt{\pi Q}}{2}.$$

Ответ

$$V=\frac{S\sqrt{\pi Q}}{2}.$$