Упр.46 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$m$$ параллельна диагонали $$BD$$ ромба $$ABCD$$ и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что:

а) $$m$$ и $$AC$$ — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними;

б) $$m$$ и $$AD$$ — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если угол $$ABC$$ равен $$128^\circ$$.

Пусть $$\alpha$$ — плоскость ромба $$ABCD$$. Тогда $$BD \subset \alpha$$, а прямая $$m$$ параллельна $$BD$$ и не лежит в плоскости $$\alpha$$.

а)

Прямая $$AC$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и пересекает прямую $$BD$$ в точке $$O$$, причём $$O \notin m$$. Значит, $$m$$ и $$AC$$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то есть это скрещивающиеся прямые.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными им. Так как $$m \parallel BD$$, то угол между $$m$$ и $$AC$$ равен углу между $$BD$$ и $$AC$$. В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому

$$\angle(m,AC)=90^\circ.$$

б)

Прямая $$AD$$ лежит в плоскости $$\alpha$$ и пересекает прямую $$BD$$ в точке $$D$$, причём $$D \notin m$$. Следовательно, $$m$$ и $$AD$$ — скрещивающиеся прямые.

Угол между $$m$$ и $$AD$$ равен углу между $$BD$$ и $$AD$$, то есть $$\angle BDA$$. В ромбе диагональ $$BD$$ биссектрисa угла $$ABC$$, поэтому

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{128^\circ}{2}=64^\circ.$$

Так как в ромбе соседние углы supplementary, то

$$\angle DAB=180^\circ-128^\circ=52^\circ.$$

В треугольнике $$ABD$$ получаем

$$\angle BDA=180^\circ-64^\circ-52^\circ=64^\circ.$$

Значит,

$$\angle(m,AD)=64^\circ.$$

Ответ: а) $$90^\circ$$; б) $$64^\circ$$.