Упр.46 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) m и AC — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними; б) m и AD — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128°.

Подробный ответ

Рассмотрим плоскость $$\alpha$$, проходящую через прямую $$m$$ и параллельную диагонали $$BD$$ ромба. Тогда $$m \subset \alpha$$, а $$BD \subset \alpha$$.

а) Диагональ $$AC$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$O$$ — точке пересечения диагоналей ромба. При этом $$O \notin m$$, так как $$m \parallel BD$$ и не совпадает с $$BD$$. Значит, прямые $$m$$ и $$AC$$ не пересекаются и не лежат в одной плоскости, то есть они скрещивающиеся.

Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Поэтому

$$\angle(m,AC)=\angle DOC.$$

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно

$$\angle DOC=90^\circ.$$

Значит, $$\angle(m,AC)=90^\circ$$.

б) Прямая $$AD$$ лежит в плоскости ромба, а прямая $$m$$ параллельна диагонали $$BD$$ и не лежит в этой плоскости. Следовательно, $$m$$ и $$AD$$ — скрещивающиеся прямые.

Угол между $$m$$ и $$AD$$ равен углу между $$BD$$ и $$AD$$:

$$\angle(m,AD)=\angle BDA.$$

В ромбе диагональ $$BD$$ является биссектрисой угла $$B$$, поэтому

$$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{128^\circ}{2}=64^\circ.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то внутренние накрест лежащие углы при секущей $$BD$$ равны, значит

$$\angle BDA=\angle DBC=64^\circ.$$

Следовательно, $$\angle(m,AD)=64^\circ$$.