Упр.458 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.
Пусть $$A_1D_1=8\text{ см}$$ — наибольшая диагональ призмы, а $$\angle A_1AD_1=30^\circ$$.
Так как призма правильная, её основание — правильный шестиугольник, а боковое ребро перпендикулярно основанию. Поэтому треугольник $$A_1AD_1$$ прямоугольный, и
$$A_1A=D_1A\cos 30^\circ,$$
$$A_1D_1=D_1A\sin 30^\circ.$$
Из второго равенства находим высоту призмы:
$$8=D_1A\cdot \frac12,$$
$$D_1A=16\text{ см}.$$
Тогда сторона основания равна
$$a=A_1A=16\cdot \frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\text{ см}.$$
Площадь правильного шестиугольника со стороной $$a$$ равна
$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt3}{2}a^2.$$
Подставим $$a=8\sqrt3$$:
$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot (8\sqrt3)^2=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot 192=288\sqrt3\text{ см}^2.$$
Объём призмы:
$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=288\sqrt3\cdot 16=4608\sqrt3\text{ см}^3.$$
Ответ: $$4608\sqrt3\text{ см}^3$$.
