Упр.458 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.

Подробный ответ

Обозначим через $$a$$ сторону правильного шестиугольника основания, а через $$h$$ высоту призмы. Тогда объём призмы равен

$$V=S_{\text{осн}} \cdot h.$$

В правильной шестиугольной призме наибольшая диагональ соединяет вершину нижнего основания с противоположной вершиной верхнего основания. Её проекция на основание — наибольшая диагональ правильного шестиугольника, равная $$2a$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный наибольшей диагональю призмы, её проекцией на основание и высотой призмы. По условию

$$d=8,\qquad \angle(d,\text{боковое ребро})=30^\circ.$$

Тогда

$$h=8\cos 30^\circ=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3},$$

а длина проекции диагонали на основание равна

$$2a=8\sin 30^\circ=8\cdot \frac12=4,$$

откуда

$$a=2.$$

Площадь основания — правильного шестиугольника — равна

$$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 2^2=6\sqrt{3}.$$

Теперь найдём объём:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=6\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}=24\cdot 3=72.$$